父与子

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阿诺德、巴顿、克劳德和丹尼斯都是股票经纪人，其中有一人是其余三人中某一人的父亲。一天，他们在证券交易所购买股票的情况是：

　　（l）阿诺德购买的都是每股3美元的股票，巴顿购买的都是每股4美元的股票，克劳德购买的都是每股6美元的股票，丹尼斯购买的都是每股8美元的股票。

　　（2）父亲所购的股数最多，他花了72美元。

　　（3）儿子所购的股数最少，他花了24美元。

　　（4）这四个人买股票总共花了161美元。

　　在这四个人当中，谁是那位父亲？谁是那位儿子？

　　（提示：根据（1）和（4）列出一个方程。依次假定某个人是那位父亲或者是那位儿子，则这个人买了多少股？如果一个数是方程中五项中四项的因数，则它必定也是第五项的因数。)

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答　案

　　设

　　a为阿诺德所购的股数，

　　b为巴顿所购的股数，

　　c为克劳德所购的股数，

　　d为丹尼斯所购的股数。

　　于是，根据（1）和（4），就这四人购买股票总共所花的钱可写出方程：

　　3a+4b+6c+8d=161。

　　假定阿诺德是那位父亲，则根据（1）和（2），他买了24股；假定巴顿是那位儿子，则根据（1）和（3），他买了6股。如此等等，共有十二种可能，列表于下。
父亲（花了72美元）
儿子（花了24美元）

Ⅰ
a=24
b=6



　　Ⅱ
  

　　a=24
c=4



　　Ⅲ
  

　　a=24
d=3



　　Ⅳ
  

　　b=18
a=8



　　Ⅴ
  

　　b=18
c=4



　　Ⅵ
  

　　b=18
d=3



　　Ⅶ
  

　　c=12
a=8



　　Ⅷ
  

　　c=12
b=6



　　Ⅸ
  

　　c=12
d=3



　　Ⅹ
  

　　d=9
a=8



　　Ⅺ
  

　　d=9
b=6



　　Ⅻ
d=9
c=4

注意：（A）a、b、c、d都是正整数，（B）如果一个整数能整除一个具有五个项的方程中的四项，则它也一定能整除其中的第五项。

　　根据上述的（B），a不能等于24或8，因为161不能被2整除。如果d等于3则b不能等于18，如果b等于6则d不能等于9，因为161不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。

　　如果d＝9，c＝4．则3a+4b=65.这样，a或b要大于9，从而与（2）矛盾。如果c=12，b＝6则3a+8d=65。这样，a或d要小于6,从而与（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。

　　如果b＝18，c＝4．则3a+8d=65。3a必须是奇数，因为8d是偶数而65是奇数（偶数乘以任何整数总得偶数，偶数加上奇数总得奇数）。

　　于是，a必须是4和18之间的一个奇数（奇数乘以奇数总得奇数）。这里唯一能使d取整数的是a＝11。这意味着d=4，但这与（3）矛盾。因此，V被排除。

　　剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克劳德是那位父亲，丹尼斯是那位儿子。

　　通过进一步分析，可以得出a、b、c、d的两组可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根据与前面同样的推理，a必须是3和12之间的一个奇数。这里能使b取整数的只有a=7和a=11。于是得到这样两组可能的值：

  a=7
a=11



　　b=11
  

　　b=8



　　c=12
  

　　c=12



　　d=3
  

　　d=3