求最小值

极光

$y=2\sqrt {x^2+4}+3\sqrt{(x-7)^2+9}$

zyzme

可以转化为距离，不过，前面的系数该怎么处理啊？

zyzme

$E(0,2),F(7,3),P(x,0),
f(x)=2\sqrt{x^2+4}+3\sqrt{(x-3)^2+9}=2|PE|+3|PF|$.
然后呢？







若一般化：$E(a,b),F(c,d)$,直线$l:Ax+By+C=0$上任意点$P(x,y)$,
求$f(x)=m\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}+n\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}=m|PE|+n|PF|$的最小值？

zyzme

参考1

参考2

castelu

现我只举题目中的例子，一般情况的思考方法相同
实际上有系数的距离问题和普通的距离问题本质是一样的
系数不会改变问题的本质
系数改变的是本来是一条直线的东西被切割了

现说作图法：
首先绘制点E(0,2)，点F(7,3)，动点P(x,0)
然后问题转化为求2|PE|+3|PF|的最小值
我们先构造2|PE|
连接PE，作点E1(4,0)，过点E1作直线PE的平行线，交x轴于点P1
于是E1P1=2|PE|（平行线等分线段定理）（蓝虚线）
我们再构造3|PF|
连接PF，作点F2(7,9)，过点F2作直线PF的平行线，交x轴于点P2
于是F2P2=3|PF|（平行线等分线段定理）（绿实线）
所以问题转化为求|E1P1|+|F2P2|的最小值
作直线E1P1关于x轴镜面对称的直线E1'P1（红实线）
所以问题转化为求|E1'P1|+|F2P2|的最小值
然而|E1'P1|和|F2P2|并不在一条直线上
不过没关系，前面说了，可以把它看成一条直线被切割后的线段
由于切割不改变距离
所以可以理解为F2P2平移到E1‘P1所在的直线后能拼成一条直线即可
也就是直线F2P2平行直线E1‘P1（绿实线平行红实线）
也就是三角形P2F2Q相似于三角形E1’OP1（绿三角相似红三角）
这道题中，还可以等价于|E1P2|=|E1P1|（等腰三角形性质）
一般情形思考方法相同，不具体说明

zyzme

楼上的方法，好像还是不好操作啊

而且，也不是很懂

就是切割不改变距离 那一部分