函数问题

龙的腾飞

求解二三问

Hsuan

令F(x)=f(x)-g(x)=2e^x-x+a-ln⁡(x+a)-3
F’(x)= 2e^x-1-(1/x+a)
假设F’(X0)=0.
显然，F(x)在x<X0是递减，在x>X0时递增
要使F(x)=0有解，则F(x0)<=0.
那么2e^x0-x0+a-ln⁡(x0+a)-3<=0①;
     2e^x0-1—(1/(x0+a))=0.②
由②式得a=1/(2e^x0-1)-x0;
代入①式得2e^x0-2x0+(1/(2e^x0-1))-ln⁡(1/(2e^x0-1))-3≤0
令t=2e^x0-1（t>-1）;
则a=1/t-ln(1+t)/2
G(t)=t+1/t+lnt-2ln((1+t)/2)-2<=0
G(1)=0
现在来求t的范围
G’(t)=(t^2 (t-1)-(1+t^2))/(t^2 (1+t))=(t^2 (t-2)-1)/(t^2 (1+t))；
令G’(t0)=0,据估算，2<t0<2.25
        -1<t<1时，G’(t)<0,所以G(t)>G(1)=0;排除
        1<t<t0时，G’(t)<0,所以G(t)<G(1)=0;满足。
        t>t0时，G’(t)>0,所以应该存在3>t1>t0使得G(t)=0.
因此G(t)<=0的解为[1，t1]
即a∈[1/t1-ln (1+t1)/2，1].
接下来求解t1的值。
到这就无法下手了。
可是这样不就说明a有一定的取值范围吗？

Hsuan

龙的腾飞

Hsuan 发表于 2014-4-25 21:31
令F(x)=f(x)-g(x)=2e^x-x+a-ln(x+a)-3
F’(x)= 2e^x-1-(1/x+a)
假设F’(X0)=0.

我来好好研究一下，不过答案是当且仅当a=1时存在实根

Hsuan

表示我太马虎了，居然求导求错了。更正一下。

龙的腾飞

Hsuan 发表于 2014-4-26 01:16
表示我太马虎了，居然求导求错了。更正一下。

那重算了么？

Hsuan

龙的腾飞 发表于 2014-4-26 12:36
那重算了么？

我不是发了图片在5楼吗。

龙的腾飞

Hsuan 发表于 2014-4-26 15:27
我不是发了图片在5楼吗。

图片显示不了，不过q上看了{23:}