求n值

chunqiuzhuan

n个正整数a1,a2,a3.....an满足如下条件：1=a1＜a2＜a3＜.....an=2009；且a1a2,a3.....an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n得最大值

castelu

设a1，a2，……an中去掉ai后剩下的n-1个数的
算术平均数为正整数bi（i=1，2，……n，即
bi= [(a1+a2+...+an)-ai]/(n-1)
于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=(aj-ai)/(n-1)
从而，n-1∣(aj-ai)
由于b1-bn=(an-a1)/(n-1) =2008/(n-1) 是正整数，故n-1∣2^3×251
由于an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）≥+(n-1)+(n-1)+……（n-1）=（n-1)^2
∴（n-1）2≤2008，于是n≤45，结合n-1∣23×251，∴n≤9，
另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，……a8=8×7+1，a9=8×251+1，则这9个数满足题设要求，综上所述，n的最大值为9