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[已解决] 有关素数和完全平方数

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楼主
发表于 2014-5-3 10:20:23 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
已知整数a,b满足:a-b为素数,且ab(乘积)是完全平方数,当a≥2012时,求a的最小值
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沙发
发表于 2014-5-3 17:14:05 | 只看该作者
设a-b=m(m是素数),ab=n²(n是正整数).
∵(a+b)²-4ab=(a-b)²,
∴(2a-m)²-4n²=m²,
即:(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m².
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),
∴2a-m+2n=m²,2a-m-2n=1,
解得:a=(m+1)²/4,n=(m²-1)/4,
∴b=a-m=(m-1)²/4,
∵a≥2012,
∴(m+1)²/4≥2012,
∵m是素数,解得:m≥89,
此时,a≥(89+1)²/4=2025,
当a=2025时,m=89,b=1936,n=1980.
∴a的最小值为2025
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板凳
 楼主| 发表于 2014-5-4 14:45:15 | 只看该作者
谢谢,找到了原来的笔记,你写错了一步,要先分类讨论,看b等于或不等于零的情况,0也是完全平方数,答案是a=2017,b=0
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地板
发表于 2014-6-13 23:28:45 | 只看该作者
castelu 发表于 2014-5-3 17:14
设a-b=m(m是素数),ab=n2(n是正整数).
∵(a+b)2-4ab=(a-b)2,
∴(2a-m)2-4n&#1 ...

这个已经不是初中问题了吧
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