求最小值

castelu

已知$x \ge 0$，求$y=\frac{{\sqrt2x+2\sqrt{{x^2}+1}}}{{2x+1}}$的最小值

castelu

解法一（常规）：
$y=\frac{{\sqrt2x+2\sqrt{{x^2}+1}}}{{2x+1}}\\$
三角换元：$x=\tan t\\$
代入化简（忽略了绝对值正负）：$y=\frac{{\sqrt2\tan t+2\sqrt{{{\tan}^2}t+1}}}{{2\tan t+1}}=\frac{{\sqrt2\tan t+2|\sec t|}}{{2\tan t+1}}=\frac{{\sqrt2\sin t+2}}{{2\sin t+\cos t}}\\$
将因变量看成参数：$2y\sin t+y\cos t=\sqrt2\sin t+2\\$
化简：$(y-\frac{{\sqrt2}}{2})\sin t+\frac{y}{2}\cos t=1\\$
合一变形：$\sqrt{{{(y-\frac{{\sqrt2}}{2})}^2}+{{(\frac{y}{2})}^2}}\sin(t+\omega)=1\\$
化简：$\sqrt{\frac{{5{y^2}}}{4}-\sqrt2y+\frac{1}{2}}\sin(t+\omega)=1\\$
考察三角值域：$\sin(t+\omega)=\frac{1}{{\sqrt{\frac{{5{y^2}}}{4}-\sqrt2y+\frac{1}{2}}}}\\$
当分母取1时，因变量最小$\frac{1}{{\sqrt{\frac{{5{y^2}}}{4}-\sqrt2y+\frac{1}{2}}}}=1\\$
化简：$5{y^2}-4\sqrt2y-2=0\\$
解方程（舍去了负根，在对称轴左边）：$y=\frac{{4\sqrt2+6\sqrt2}}{{10}}=\sqrt2$

解法二（求导）：
求导：$f(x)=\frac{{\sqrt2x+2\sqrt{{x^2}+1}}}{{2x+1}},f'(x)=\frac{{\sqrt2\sqrt{{x^2}+1}+2x-4}}{{{{(2x+1)}^2}\sqrt{{x^2}+1}}}\\$
令$g(x)=\sqrt2\sqrt{{x^2}+1}+2x-4,g'(x)>0\\$单调递增
令$g(x)=0,x=1,y=\sqrt2$