计算含有对数函数的不定积分

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计算含有对数函数的不定积分

        对于形如${I_m} = \int {{x^n}{{\left( {\ln x} \right)}^m}dx} $的不定积分（其中n为自然数，m为正整数），我们可以通过递归来进行计算。注意到
$\begin{array}{l}
                        {I_m} = \frac{1}{{n + 1}}\int {{{\left( {\ln x} \right)}^m}d{x^{n + 1}}} \\
                               = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}}{\left( {\ln x} \right)^m} - \frac{m}{{n + 1}}\int {{x^n}{{\left( {\ln x} \right)}^{m - 1}}dx} \\
                               = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}}{\left( {\ln x} \right)^m} - \frac{m}{{n + 1}}{I_{m - 1}}
\end{array}$
因此我们可以得到
$\begin{array}{l}
                        {I_m} = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}}{\left( {\ln x} \right)^m} - \frac{m}{{n + 1}}{I_{m - 1}}\\
                               = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}}{\left( {\ln x} \right)^m} - \frac{m}{{{{(n + 1)}^2}}}{x^{n + 1}}{\left( {\ln x} \right)^{m - 1}} + \frac{{m!}}{{(m - 2)!{{(n + 1)}^2}}}{I_{m - 2}}\\
                               =  \cdots \\
                               = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\frac{{{{( - 1)}^k}m!}}{{(m - k)!{{(n + 1)}^{k + 1}}}}{x^{n + 1}}{{\left( {\ln x} \right)}^{m - k}} + } \frac{{{{( - 1)}^m}m!}}{{{{(n + 1)}^m}}}{I_0}
\end{array}$
其中${I_0} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{(n + 1)}} + C$（C为积分常数），代入上式后就可以得到完整的展开式
                ${I_m} = \sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{{{( - 1)}^k}m!}}{{(m - k)!{{(n + 1)}^{k + 1}}}}{x^{n + 1}}{{\left( {\ln x} \right)}^{m - k}}}  + C$

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幂函数在凑微分时升幂，在与复合的对数函数求导生成的$\frac{1}{x}$相乘时降幂