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[已解决] 一道自招的整除性质的题

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楼主
发表于 2014-7-12 17:47:07 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 Txia 于 2014-7-12 17:53 编辑

已知7a-(b^2)>0,a(b^2)+b+7整除7a-(b^2),求满足条件的所有的正整数对(a,b)。
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沙发
 楼主| 发表于 2014-7-12 17:56:46 | 只看该作者
本帖最后由 Txia 于 2014-7-12 17:58 编辑

这道题方法很多,你选取的方法,直接决定你的运算量!我是做出来了的,但现在不放答案。
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板凳
发表于 2014-7-12 18:49:30 | 只看该作者
本帖最后由 Hsuan 于 2014-7-12 19:42 编辑

[tex]n=\frac{7a-b^2}{ab^2+b+7}=\frac{nab^2+\left(7-nab^2 \right)a-b^2}{ab^2+b+7}[/tex]
[tex]n=\frac{\left(7-nab^2 \right)a-b^2}{b+7}[/tex]
[tex]a=\frac{b^2+nb+7n}{7-nab^2}[/tex]
7>nab^2;
7>b^2;b=1或2
逐个代入,得数对为(11,1)(49,1).
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地板
 楼主| 发表于 2014-7-12 19:10:17 | 只看该作者
Hsuan 发表于 2014-7-12 18:49
7>nb^2;
7>b^2;b=1或2
逐个代入,得数对为(11,1)(49,1).

b=2你是怎么排除的?能补充一下吗?
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5#
发表于 2014-7-12 19:46:34 | 只看该作者
Txia 发表于 2014-7-12 19:10
b=2你是怎么排除的?能补充一下吗?

b=2,7a-4=n(4a+9)=4n*a+9n;n<2;7a-4=4a+9;解得a=13/3∉Z+.排除
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6#
 楼主| 发表于 2014-7-12 21:23:11 | 只看该作者
Hsuan 发表于 2014-7-12 19:46
b=2,7a-4=n(4a+9)=4n*a+9n;n

漂亮!!
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7#
 楼主| 发表于 2014-7-12 21:31:39 | 只看该作者
集合上面的Husan和我的方法,应该来说是最简单的方法了

解:因为[a(b^2)+b+7]|[7a-(b^2)],所以a(b^2)+b+7≤7a-(b^2),即a[(b^2)-7]≤-(b^2)-b-7<0
得b^2<7,故b=1或b=2
(1)当b=1时,(a+8)|(7a-1),有(7a-1)/(a+8)=7-57/(a+8),所以(a+8)|57
得:a=11或49
(2)当b=2时,令7a-4=k(4a+9),因为k∈N*,a∈N*
故只有k=1,7a-4=4a+9,得a=13/3,不是正整数,舍去。
综合上述:a=11或49
此时,(a,b)=(11,1)或(49,1)
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