三角函数的题

quantum

求助好方法

Hsuan

题目是不是抄错了？F(x)=sinx 不是sinA吧。(你是我师弟吗,为什么这些题我老师都有讲过咧？)

quantum

哦   是抄错了    不好意思

quantum

怎么做，求助好方法

Hsuan

sin5π/6=1/2， 以sin5π/6作为分类讨论标准。
解：
Ⅰ.若A＞5π/6，取a=π/2，b=5π/6，c=5π/6∈(0，A)，a、b、c可作为一个三角形的三边长，而sinπ/2=1，sin5π/6=1/2，sin5π/6=1/2不能构成三角形三边长，
故F（x）不是“保三角形函数”．
Ⅱ.当A=5π/6时，对任意三角形的三边a，b，c，若a，b，c∈(0，5π6)，分类讨论：
（1）a+b+c≥2π，
此时a≥2π-b-c＞2π-5π/6-5π/6=π/3，同理，b，c＞π/3，
∴a，b，c∈(π/3，5π/6)，故sina，sinb，sinc∈(1/2，1]，sina+sinb＞1/2+1/2=1≥sinc．
同理sina+sinc＞1/2+1/2=1≥sinb ; sinb+sinc＞1/2+1/2=1≥sina ;
∴sina，sinb，sinc可构成三角形三边长．
（2）a+b+c＜2π,此时，(a+b)/2+c/2＜π，可得如下两种情况：(a+b)/2≤π/2时，由于a+b＞c，所以，0＜c/2＜(a+b)/2≤π/2．
又0＜sinc/2＜sin(a+b)/2≤1；(a+b)/2＞π/2时，0＜c/2＜π-(a+b)/2＜π/2，
而 0＜sinc/2＜sin(a+b)/2＜1；
∴0＜sinc/2＜sin(a+b)/2≤1．
又由|a-b|＜c＜5π/6及余弦函数在（0，π）上单调递减，
得cos(a-b)/2=cos|a-b|/2＞cosc/2＞cos5π/12＞0，
∴sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2＞2sinc/2cosc/2=sinc．
同理可得sinb+sinc>sina ，sina+sinc>sinb.
∴sina，sinb，sinc可构成个三角形三边长．
故A=5π/6时，F（x）是“保三角形函数”．
综上，A的最大值为5π/6．

quantum

怎样知道以5π/6为界讨论呢

Hsuan

quantum 发表于 2014-7-14 13:27
怎样知道以5π/6为界讨论呢

猜测的，因为sin5π/6=1/2=1/2sinπ/2 ;其他比较容易懂的方法，还没找到。

quantum

希望版主能找到更易懂得办法