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[已解决] 三角函数的题

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楼主
发表于 2014-7-13 15:58:41 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
求助好方法

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沙发
发表于 2014-7-13 16:16:45 | 只看该作者
本帖最后由 Hsuan 于 2014-7-13 17:15 编辑

题目是不是抄错了?F(x)=sinx 不是sinA吧。(你是我师弟吗,为什么这些题我老师都有讲过咧?)
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板凳
 楼主| 发表于 2014-7-13 16:57:23 | 只看该作者
哦   是抄错了    不好意思
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地板
 楼主| 发表于 2014-7-14 12:12:51 | 只看该作者
怎么做,求助好方法
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5#
发表于 2014-7-14 12:46:27 | 只看该作者
sin5π/6=1/2, 以sin5π/6作为分类讨论标准。
解:
Ⅰ.若A>5π/6,取a=π/2,b=5π/6,c=5π/6∈(0,A),a、b、c可作为一个三角形的三边长,而sinπ/2=1,sin5π/6=1/2,sin5π/6=1/2不能构成三角形三边长,
故F(x)不是“保三角形函数”.
Ⅱ.当A=5π/6时,对任意三角形的三边a,b,c,若a,b,c∈(0,5π6),分类讨论:
(1)a+b+c≥2π,
此时a≥2π-b-c>2π-5π/6-5π/6=π/3,同理,b,c>π/3,
∴a,b,c∈(π/3,5π/6),故sina,sinb,sinc∈(1/2,1],sina+sinb>1/2+1/2=1≥sinc.
同理sina+sinc>1/2+1/2=1≥sinb ; sinb+sinc>1/2+1/2=1≥sina ;
∴sina,sinb,sinc可构成三角形三边长.
(2)a+b+c<2π,此时,(a+b)/2+c/2<π,可得如下两种情况:(a+b)/2≤π/2时,由于a+b>c,所以,0<c/2<(a+b)/2≤π/2.
又0<sinc/2<sin(a+b)/2≤1;(a+b)/2>π/2时,0<c/2<π-(a+b)/2<π/2,
而 0<sinc/2<sin(a+b)/2<1;
∴0<sinc/2<sin(a+b)/2≤1.
又由|a-b|<c<5π/6及余弦函数在(0,π)上单调递减,
得cos(a-b)/2=cos|a-b|/2>cosc/2>cos5π/12>0,
∴sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2>2sinc/2cosc/2=sinc.
同理可得sinb+sinc>sina ,sina+sinc>sinb.
∴sina,sinb,sinc可构成个三角形三边长.
故A=5π/6时,F(x)是“保三角形函数”.
综上,A的最大值为5π/6.
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6#
 楼主| 发表于 2014-7-14 13:27:06 | 只看该作者
怎样知道以5π/6为界讨论呢
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7#
发表于 2014-7-14 13:33:28 | 只看该作者
quantum 发表于 2014-7-14 13:27
怎样知道以5π/6为界讨论呢

猜测的,因为sin5π/6=1/2=1/2sinπ/2 ;其他比较容易懂的方法,还没找到。
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8#
 楼主| 发表于 2014-7-14 18:54:16 | 只看该作者
希望版主能找到更易懂得办法
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