数列求和的问题

厉冰雪

看到一个数列

castelu

没法证明是否有求和公式的，实际上当时有很多数学家无法算出这个结果，最后是欧拉于1735年算得。

厉冰雪

那么如何推导呢，劳驾！

castelu

这个推导过程有很多种，这里送上一种欧拉的原创方法：
把方程
$$\frac{\sin x}{x}=0$$
的左端展开无穷级数，得到
$$1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots=0$$
由于原方程的根显然易见是：$\pm \pi$、$\pm 2\pi$、$\pm 3\pi$、$\pm 4\pi$、$\pm 5\pi$、$\cdots$
由根与系数的关系，方程的左端可以写成
$$\left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right)\left( 1 - \frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left( 1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right)\left( 1 - \frac{x^2}{16\pi^2} \right) \cdots$$
比较二次项系数即得
$$-\left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \frac{1}{16\pi^2} + \cdots \right) =-\frac{1}{3!}$$
因此有
$$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
还有两种方法，我以前发过的
三角级数求和法：http://www.2math.cn/thread-3993-1-1.html
傅立叶级数法：http://www.2math.cn/thread-5220-1-1.html