【原创】三论积分因子法

castelu

三论积分因子法

前言：
　　积分因子法是常微分方程中将变量分离方程、线性微分方程和齐次微分方程转化为恰当方程的方法。我们可以运用这种思想，较容易地解决数学分析中的一些问题。

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例题1：
　　设$f(x)$在$\left(0,+\infty\right)$有连续的导函数，已知：$\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)+f'(x))=0$，证明：$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$。

解答1：
$$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^xf(x)}{e^x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x(f(x)+f'(x))}{e^x}=\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)+f'(x))=0$$

点评1：
　　$e^x$是微分方程$f(x)+f'(x)=0$的积分因子，计算过程中运用了$L'Hospital$法则，注意到它是$\frac{*}{\infty}$型，满足条件。

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例题2：
　　设$f'(x)$在$\left[a,b\right]$上连续，$f(x)$在$\left(a,b\right)$内二阶可导，$f(a)=f(b)=0$，$\int_a^b f(x)dx=0$，求证：
（1）在$\left(a,b\right)$内至少有一点$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$；
（2）在$\left(a,b\right)$内至少有一点$\eta$，$\eta \ne \xi$，使得$f''(\eta)=f(\eta)$。

解答2：
（1）令
$$F(x)=e^{-x}f(x)$$
　　于是
$$F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))，F(a)=F(b)=0$$
　　根据$Rolle$定理
$$\exists \xi \in \left(a,b\right)，F'(\xi)=0$$
　　所以
$$f'(\xi)=f(\xi)$$
（2）由
$$\int_a^b f(x)dx=0$$
　　根据积分第一中值定理
$$\exists x_0 \in \left(a,b\right)，f(x_0)=0$$
　　令
$$G(x)=e^xf(x)，G'(x)=e^x(f'(x)+f(x))，G(a)=G(b)=G(x_0)=0$$
　　根据$Rolle$定理
$$\exists \xi_1 \in \left(a,x_0\right)，\xi_2 \in \left(x_0,b\right)，G'(\xi_1)=G'(\xi_2)=0$$
　　所以
$$f'(\xi_1)+f(\xi_1)=0，f'(\xi_2)+f(\xi_2)=0$$
　　再令
$$H(x)=e^{-x}(f'(x)+f(x))，H'(x)=e^{-x}(f''(x)-f(x))，H(\xi_1)=H(\xi_2)=0$$
　　根据$Rolle$定理
$$\exists \eta \in \left(\xi_1,\xi_2\right)，H'(\eta)=0$$
　　所以
$$f''(\eta)=f(\eta)$$

点评2：
　　$e^{-x}$是微分方程$f''(x)-f(x)=0$的积分因子，$e^x$是微分方程$f'(x)+f(x)=0$的积分因子，$e^{-x}$是微分方程$f'(x)-f(x)=0$的积分因子，证明过程中多次运用了积分因子法。

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例题3：
　　设$f(x)$，$g(x)$，$\phi(x)$均为$\left[a,b\right]$上的连续函数，且$g(x)$为单调递增的，$\phi(x) \ge 0$，同时满足对于任意$x \in \left[a,b\right]$，有
$$f(x) \le g(x)+\int_a^x \phi(t)f(t)dt$$
　　证明：对于任意的$x \in \left[a,b\right]$，都有
$$f(x) \le g(x)e^{\int_a^x f(s)ds}$$

解答3：
　　设
$$F(x)=\int_a^x \phi(t)f(t)dt$$
　　则
$$F'(x)=\phi(x)f(x) \le \phi(x)g(x)+\phi(x)F(x)$$
$$F'(x)-\phi(x)F(x) \le \phi(x)g(x)$$
$$\left[F(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt}\right]' \le \phi(x)g(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt}$$
$$F(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt} \le \int_a^x \phi(t)g(t)e^{-\int_a^t \phi(s)ds} dt$$
$$F(x) \le \int_a^x \phi(t)g(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt$$
$$
\begin{eqnarray*}
f(x) &\le& g(x)+F(x)\\
&\le&g(x)+\int_a^x \phi(t)g(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt\\
&\le&g(x)+g(x)\int_a^x \phi(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt\\
&=&g(x)+g(x)\left[-e^{\int_t^x \phi(s)ds}\right]_{t=a}^{t=x}\\
&=&g(x)+g(x)\left[-1+e^{\int_a^x \phi(s)ds}\right]\\
&=&g(x)e^{\int_a^x f(s)ds}
\end{eqnarray*}
$$

点评3：
　　$e^{-\int_a^x \phi(t)dt}$是微分方程$F'(x)-\phi(x)F(x)=0$的积分因子，证明过程中运用了积分第二中值定理，积分因子法巧妙回避了在不等式形式下难以求解微分方程的麻烦。

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总结：
　　本文列举了三道例题，分别涉及极限、微分和积分，而恰当地运用积分因子法，可以快速地解决这一类问题。

作者：$Castelu$