数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 1863|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

[已解决] 裴礼文 一元函数极限 96页 练习1.5.26 解答

[复制链接]
跳转到指定楼层
楼主
发表于 2016-3-30 22:47:13 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
练习1.5.26:

  设$a_1=1$,$a_k=k(a_{k-1}+1)$,试计算:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)$$



解:

  根据递推公式,可知
$$a_n=n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}$$
  而
$$
\begin{eqnarray*}
\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{a_2}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{a_n}\\
&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{2(1+a_1)}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{n(1+a_{n-1})}\\
&=&\frac{1+a_n}{n!}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\
\end{eqnarray*}
$$
  所以
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)=e$$

分享到:  QQ好友和群QQ好友和群 QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
收藏收藏 分享分享 分享淘帖 顶 踩
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2024-12-23 21:23 , Processed in 1.234383 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表