裴礼文 一元函数极限 109页 练习1.6.7 解答

castelu

练习1.6.7：

　　给定正数序列$\left\{a_n\right\}$，证明
$$\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n \ge e$$

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解：

　　反证法，假设
$$\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n < e$$
　　故
$$\exists N \in N$$
　　当
$$n \ge N$$
　　时，有
$$\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} < 1$$
　　即
$$\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}<1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$$
　　故
$$\frac{a_1+a_{n+1}}{n+1}<\frac{a_n}{n}$$
　　由此得出，当
$$m>n \ge N$$
　　时，有
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a_n}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1} > \frac{a_1}{n+1}\\
\cdots\\
\frac{a_m}{m}-\frac{a_{m+1}}{m+1} > \frac{a_1}{m+1}
\end{array} \right.$$
　　将上述各式相加得到
$$\frac{a_n}{n}>\frac{a_n}{n}-\frac{a_{m+1}}{m+1}>a_1\left(\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{m+1}\right)$$
　　在上式中，固定
$$n \ge N$$
　　令右边不小于$n$的$m$取得任意大可看出，右边的关于$m$的数列无上界
　　这与该数列以固定数
$$\frac{a_n}{n}$$
　　为上界矛盾
　　或者，在不等式两边令
$$m \to +\infty$$
　　得到
$$+\infty > \frac{a_n}{n} \ge +\infty$$
　　矛盾。