裴礼文 一元函数的连续性 163页 练习2.2.16 解答

castelu

练习2.2.16：

　　函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上有连续的导函数，且$\lim\limits_{x \to a^+}f'(x)$与$\lim\limits_{x \to b^-}f'(x)$均存在有限，试证：
（1）$f(x)$在$(a,b)$上一致连续；
（2）$\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$，$\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$均存在。

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解：

（1）令
$$F(x)=\left\{ \begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to a^+}f'(x),x=a\\
f'(x),x \in (a,b)\\
\lim\limits_{x \to b^-}f'(x),x=b
\end{array} \right.$$
　　于是$F(x)$在$[a,b]$上连续，从而$F(x)$有界
$$\exists M>0，|F(x)|<M$$
　　即
$$|f'(x)|<M$$
　　所以，$f(x)$在$(a,b)$上一致连续。
（2）由于$f(x)$在$(a,b)$上一致连续
$$\forall \epsilon>0，\exists \delta>0$$
　　当
$$x',x'' \in (a,b)，|x'-x''|<\delta$$
　　时，有
$$|f(x')-f(x'')|<\epsilon$$
　　故
$$\forall x',x'' \in (a,b)，a<x'<a+\delta，a<x''<a+\delta$$
　　时，有
$$|f(x')-f(x'')|<\epsilon$$
　　根据$Cauchy$准则，知$\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$存在（有限）。同理$\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$存在。