裴礼文 一元微分学 220页 练习 解答

castelu

练习：
　　设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$在$(a,b)$内可微，且$g(a)=0$，若有实数$\lambda \ne 0$，使得
$$|g(x)f(x)+\lambda g'(x)| \le |g(x)|，x \in (a,b)$$
　　成立。试证：$g(x) \equiv 0$。

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解：
　　由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，从而有界，即存在$c>0$，使
$$f(x) \le c, x \in [a,b]$$
$$|g(x)| \ge |g(x)f(x)+\lambda g'(x)| \ge |\lambda||g'(x)|-|g(x)f(x)|$$
　　所以
$$|\lambda||g'(x)| \le |g(x)|+|f(x)g(x)| \le (1+c)|g(x)|$$
　　因为
$$|g'(x)| \le \frac{(1+c)}{|\lambda|}|g(x)|$$
　　令
$$A=\frac{(1+c)}{|\lambda|}>0$$
　　于是
$$|g'(x)| \le A|g(x)|$$
　　又
$$g(a)=0$$
　　$g(x)$在$(a,b)$内可微。
　　下面有两个解法：
　　解法1：
　　由于$g(x)$在$\left[a,\frac{1}{2A}\right]$上连续，所以$|g(x)|$在$\left[a,\frac{1}{2A}\right]$上也连续
　　从而存在
$$c \in \left[a,\frac{1}{2A}\right]$$
　　使
$$g(c)=M$$
$$\begin{eqnarray*}
M=|g(c)|&=&|g(a)+g'(\xi)(c-a)|\\
&\le&|g'(\xi)c| \le Ac|g(\xi)| \le \frac{1}{2}|g(\xi)| \le \frac{1}{2}M
\end{eqnarray*}$$
　　所以
$$M=0$$
　　此即
$$g(x)=0，x \in \left[a,\frac{1}{2A}\right]$$
　　再用数学归纳法，可证在一切
$$\left[\frac{k-1}{2A},\frac{k}{2A}\right] \cap [a,b](k=1,2,\cdots)$$
　　上恒有
$$g(x)=0$$
　　所以
$$g(x) \equiv 0，x \in [a,b]$$
　　解法2：
　　由
$$|g'(x)| \le A|g(x)|$$
　　可知
$$[g'(x)]^2 \le A^2g^2(x)$$
　　也即
$$[g'(x)+Ag(x)][g'(x)-Ag(x)] \le 0$$
　　根据积分因子法
　　令
$$H_1(x)=g(x)e^{Ax}$$
$$H_1'(x)=[g'(x)+Ag(x)]e^{Ax}$$
　　若
$$H_1'(x) \le 0，H_1(x) \le H_1(a)=0$$
　　所以
$$g(x) \le 0$$
　　令
$$H_2(x)=g(x)e^{-Ax}$$
$$H_2'(x)=[g'(x)-Ag(x)]e^{-Ax} \ge 0$$
$$H_2(x) \ge H_2(a)=0$$
　　所以
$$g(x) \ge 0$$
　　同理可证另一种情形
　　综上所述
$$g(x) \equiv 0，x \in [a,b]$$