裴礼文 一元微分学 260页 留念题3.3.11 解答

castelu

留念题3.3.11：
　　设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上二次可微，
$$f'\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$$
（1）试证存在$\xi \in (a,b)$，使得
$$|f''(\xi)| \ge \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|$$
　　说明常数$4$是最好的（即对任何$M>4$，总可找一具体的$[a,b]$，及其上满足条件的$f(x)$，使对一切$\xi \in (a,b)$，都有
$$|f''(\xi)| < \frac{M}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|$$
（2）如果再设$f(x) \not\equiv 常数$，试证存在$\eta \in (a,b)$，使
$$|f''(\eta)| > \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|$$

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解：
（1）将$f(x)$在
$$x_0=\frac{a+b}{2}$$
　　处$Taylor$展开
$$\exists c_1 \in (x_0,b)，c_2 \in (a,x_0)$$
　　使得
$$\begin{eqnarray*}
f(b)&=&f(x_0)+f'(x_0)\frac{b-a}{2}+\frac{f''(c_1)}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2\\
&=&f(x_0)+\frac{f''(c_1)}{2}\frac{(b-a)^2}{4}
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
f(a)&=&f(x_0)+f'(x_0)\frac{a-b}{2}+\frac{f''(c_2)}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2\\
&=&f(x_0)+\frac{f''(c_2)}{2}\frac{(b-a)^2}{4}
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$$f(b)-f(a)=\frac{(b-a)^2}{4}\frac{f''(c_1)-f''(c_2)}{2}$$
$$\begin{eqnarray*}
\frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|&=&\frac{|f''(c_1)-f''(c_2)|}{2} \le \frac{1}{2}[|f''(c_1)|+|f''(c_2)|]\\
&\le& \max\left\{|f''(c_1)|,|f''(c_2)|\right\}=f''(\xi)，\xi为c_1或c_2
\end{eqnarray*}$$
　　对$\forall \epsilon>0$，令$M=4+\epsilon>4$，取$n \in N$，使得$n > \frac{2}{\epsilon}$，作函数
$$f(x)=x^{2+\frac{1}{4n+1}},x \in [-1,1]$$
　　则
$$f'(x)=\left(2+\frac{1}{4n+1}\right)x^{1+\frac{1}{4n+1}}$$
$$f''(x)=\left(2+\frac{1}{4n+1}\right)\left(1+\frac{1}{4n+1}\right)x^{\frac{1}{4n+1}}$$
　　$f(x)$在$[-1,1]$上二阶可导，$f'\left(\frac{-1+1}{2}\right)=f'(0)=0$，$f(x)$满足题设条件。$\forall x \in (-1,1)$，
$$\begin{eqnarray*}
|f''(x)|&<&\left(2+\frac{1}{4n+1}\right)\left(1+\frac{1}{4n+1}\right)=2+\frac{3}{4n+1}+\frac{1}{(4n+1)^2}\\
&<&2+\frac{4}{4n+1}<2+\frac{1}{n}<2+\frac{\epsilon}{2}\\
&=&\frac{4+\epsilon}{2}=\frac{4+\epsilon}{4} \cdot 2\\
&=&\frac{M}{(1-(-1))^2}|f(1)-f(-1)|
\end{eqnarray*}$$
　　由此知$4$是最好的。
（2）反证法：
　　如果
$$\begin{eqnarray*}
|f''(\eta)| &\le& \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|\\
&=&\frac{4}{(b-a)^2}\left|\int_a^bf'(x)dx\right|\\
&\le&\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b|f'(x)|dx\\
&=&k, \forall \eta \in (a,b)
\end{eqnarray*}$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
\int_a^b|f'(x)|dx&=&\int_a^{x_0}|f'(x)|dx+\int_{x_0}^b|f'(x)|dx\\
&=&\int_a^{x_0}|f'(x)-f'(x_0)|dx+\int_{x_0}^b|f'(x)-f'(x_0)|dx\\
&\le&\int_a^{x_0}k(x_0-x)dx+\int_{x_0}^bk(x-x_0)dx\\
&=&k\frac{(b-a)^2}{4}\\
&=&\int_a^b|f'(x)|dx
\end{eqnarray*}$$
　　易知上式等式成立当且仅当
$$f'(x)=\pm\left\{ \begin{array}{l}
k(x_0-x), x \in [a,x_0)\\
k(x-x_0), x \in [x_0,b]
\end{array} \right.$$
　　但这样的$f'(x)$在$x=x_0$处不可微，矛盾。