裴礼文 一元积分学 370页 练习4.3.28 解答

castelu

练习4.3.28：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上连续。试证：$f(x)$为凸的充分必要条件是
$$f(x) \le \frac{1}{2h}\int_{-h}^hf(x+t)dt$$
　　对$\forall [x-h,x+h] \subset [a,b]$时成立。

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解：
　　必要性：
　　若$f(x)$为凸函数，则
$$f(x) \le \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}, 0 \le t \le h$$
　　两边关于$t$从$0$到$h$积分有
$$hf(x) \le \frac{1}{2}\int_0^hf(x+t)dt+\frac{1}{2}\int_0^hf(x-t)dt=\frac{1}{2}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt$$
　　充分性：
　　若
$$f(x) \le \frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt,\forall [x-h,x+h] \subset [a,b]$$
　　则
$$2hf(x) \le \int_0^hf(x+t)dt+\int_0^hf(x-t)dt$$
$$\int_0^h[f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]dt \ge 0$$
　　记
$$Df(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h[f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]dt$$
　　先证：如果$Df(x)>0, x \in [a,b]$，那么$f(x)$是凸函数
　　反证法：假设$f(x)$不是凸函数，则
$$\exists x_1<x_2<x_3, \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} > \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$$
　　令
$$l(x)=f(x_1)+\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}(x-x_1)$$
　　就有
$$f(x_2)>l(x_2)$$
　　记
$$F(x)=f(x)-l(x)$$
　　则
$$F(x_1)=F(x_3)=0，F(x_2)>0$$
　　于是，连续函数$F(x)$在$(x_1,x_3)$内某点取得正的最大值
$$F(\xi)=\max\limits_{x_1 \le x \le x_3}F(x)$$
　　于是，对$\forall h>0$，$0 \le u \le h$，就有
$$F(\xi+u)+F(\xi-u)-2F(\xi) \le 0$$
$$\frac{1}{h^3}\int_0^h[F(\xi+u)+F(\xi-u)-2F(\xi)]du \le 0$$
　　令$h \to 0^+$，有$DF(\xi) \le 0$。这是一个矛盾，故$f(x)$是凸函数
　　往证题目。对
$$\forall \epsilon>0$$
　　令
$$f_{\epsilon}(x)=f(x)+\epsilon x^2$$
　　则
$$Df_{\epsilon}(x)=\frac{2\epsilon}{3}>0$$
　　而$f_{\epsilon}(x)$为凸函数
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+\epsilon\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+\epsilon\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{2}\right)$$
$$\forall a \le x_1 < x_2 \le b$$
　　令$\epsilon \to 0^+$，即知$f(x)$为凸函数。