裴礼文 一元积分学 392页 练习4.4.2 解答

castelu

练习4.4.2：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上连续可微，$f(a)=0$。试证：
$$M^2 \le (b-a)\int_a^b f'^2(x)dx$$
　　其中$M=\sup\limits_{a \le x \le b}|f(x)|$。

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解：
$$\begin{eqnarray*}
M^2&=&|f(\xi)|^2(\xi \in [a,b])\\
&=&\left[\int_a^{\xi}f'(x)dx\right]^2\\
&\le&\int_a^{\xi}1^2dx\cdot\int_a^{\xi}f'^2(x)dx\\
&\le&(b-a)\int_a^bf'^2(x)dx
\end{eqnarray*}$$