裴礼文 一元积分学 393页 练习4.4.3 解答

castelu

练习4.4.3：

　　设$f(x)$在$[0,1]$上连续可微，并且$f(1)-f(0)=1$。证明：
$$\int_0^1 f'^2(x)dx \ge 1$$

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解：
$$\begin{eqnarray*}
1&=&[f(1)-f(0)]^2\\
&=&\left[\int_0^1f'(x)dx\right]^2\\
&<&\int_0^11^2dx\cdot\int_0^1f'^2(x)dx\\
&=&\int_0^1f'^2(x)dx
\end{eqnarray*}$$