裴礼文 级数 476页 练习5.1.11 解答

castelu

练习5.1.11：

　　证明：若$a_n>0$，$a_n \searrow 0$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$与$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$（$p_m=\max\left\{n;a_n \ge 2^{-m}\right\}$）同时敛散。（$Lobachevsky$判别法）

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解：
　　由
$$\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^mp_k2^{-k}&=&\sum\limits_{k=1}^mp_k\left(\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^k}\right)\\
&=&\sum\limits_{k=0}^{m-1}\frac{p_{k+1}}{2^k}-\sum\limits_{k=1}^m\frac{p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{p_{k+1}-p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)2^{-(k+1)}\\
&\le&p_0+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)a_{p_{k+1}}\\
&\le&p_0+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(a_{p_{k}+1}+\cdots+a_{p_{k+1}})\\
&=&p_0+2(a_{p_{1}+1}+a_{p_{1}+2}+\cdots+a_{p_{m}})
\end{eqnarray*}$$
　　知若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$也收敛；若$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$发散，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
　　又由
$$\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^mp_k2^{-k}&=&\sum\limits_{k=1}^mp_k\left(\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^k}\right)\\
&=&\sum\limits_{k=0}^{m-1}\frac{p_{k+1}}{2^k}-\sum\limits_{k=1}^m\frac{p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{p_{k+1}-p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)2^{-(k+1)}\\
&>&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)a_{p_{k+1}+1}\\
&\ge&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(a_{p_{k}+2}+\cdots+a_{p_{k+1}+1})\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2(a_{p_{1}+2}+a_{p_{1}+3}+\cdots+a_{p_{m}+1})
\end{eqnarray*}$$
　　知若$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$也发散。