裴礼文 级数 478页 练习5.1.21 解答

castelu

练习5.1.21：
　　设数$a>0$，$\left\{p_n\right\}$是一个数列，并且$p_n>0$，$p_{n+1} \ge p_n$，证明：
　　级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
　　收敛。

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解：
　　考虑以下两种情况：
（1）$a>1$
　　此时有$p_{n-1}^a \ge p_1^{a-1}p_{n-1}$，从而
$$\begin{eqnarray*}
\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} &\le& \frac{p_n-p_{n-1}}{p_1^{a-1}p_np_{n-1}}\\
&=&\frac{1}{p_1^{a-1}}\left(\frac{1}{p_{n-1}}-\frac{1}{p_n}\right)\\
\end{eqnarray*}$$
　　故级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
　　收敛。
（2）$0<a \le 1$
　　根据$Lagrange$中值定理，此时有
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{p_{n-1}^a}-\frac{1}{p_n^a}&=&\frac{p_n^a-p_{n-1}^a}{p_n^ap_{n-1}^a}\\
&=&a\frac{(p_{n-1}+\theta_n(p_n-p_{n-1})^{a-1})(p_n-p_{n-1})}{p_n^ap_{n-1}^a}\\
&\ge&a\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}
\end{eqnarray*}$$
　　从而
$$\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \le \frac{1}{a}\left(\frac{1}{p_{n-1}^a}-\frac{1}{p_n^a}\right)$$
　　故级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
　　收敛。