裴礼文 多元函数微分学 676页 练习6.2.26 解答

castelu

练习6.2.26：
　　设二元可微函数$F(x,y)=f(x)g(y)$：
（1）在极坐标系中可表成$F(x,y)=s(r)$，求$F(x,y)$；
（2）在极坐标系中可表成$F(x,y)=\phi(\theta)$，求$F(x,y)$。

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解：
（1）由于
$$r=\sqrt {x^2+y^2}$$
　　并且
$$s(r)=f(x)g(y)$$
　　两边关于$x$求导
$$f'(x)g(y)=\frac{xs'(r)}{r}$$
　　两边关于$y$求导
$$f(x)g'(y)=\frac{ys'(r)}{r}$$
　　两式相除
$$\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{g'(y)}{g(y)}}=\frac{x}{y}=C（C是任意常数）$$
　　所以
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=Cx$$
　　这是可分离变量的常微分方程，解得
$$f(x)=C_1e^{\frac{1}{2}Cx^2}（C_1是任意常数）$$
　　同理
$$g(y)=C_2e^{\frac{1}{2}Cy^2}（C_2是任意常数）$$
　　于是
$$F(x,y)=f(x)g(y)=C_1C_2e^{\frac{1}{2}C(x^2+y^2)}$$
　　令
$$A=\frac{1}{2}C, B=C_1C_2$$
　　就有
$$F(x,y)=Be^{A(x^2+y^2)}（A，B是任意常数）$$
（2）由于
$$\theta=\arctan \frac{y}{x}$$
　　并且
$$\phi(\theta)=f(x)g(y)$$
　　两边关于$x$求导
$$f'(x)g(y)=\frac{-y\phi'(\theta)}{x^2+y^2}$$
　　两边关于$y$求导
$$f(x)g'(y)=\frac{x\phi'(\theta)}{x^2+y^2}$$
　　两式相除
$$\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{g'(y)}{g(y)}}=-\frac{y}{x}=C（C是任意常数）$$
　　所以
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=-\frac{C}{x}$$
　　这是可分离变量的常微分方程，解得
$$f(x)=\frac{C_1}{x^C}（C_1是任意常数）$$
　　同理
$$g(y)=C_2y^C（C_2是任意常数）$$
　　于是
$$F(x,y)=f(x)g(y)=C_1C_2\left(\frac{y}{x}\right)^C$$
　　令
$$A=C, B=C_1C_2$$
　　就有
$$F(x,y)=B\left(\frac{y}{x}\right)^A（A，B是任意常数）$$