裴礼文 多元函数微分学 739页 练习6.4.6 解答

castelu

练习6.4.6：
　　设$\phi(x,y)$，$\phi'_y(x,y)$在$(x_0,y_0)$的邻域$D:|x-x_0|, |y-y_0| \le \Delta$上连续，和$|\phi'_y(x,y)|<\lambda<1$，$\phi(x,y)<(1-\lambda)\Delta$。令$y_n=y_0+\phi(x,y_{n-1})$，则由$y_0$可依次得到$y_1(x)$，$y_2(x)$，$\cdots$，$y_n(x)$，$\cdots$。试证此序列收敛，且极限函数为隐式方程$y=y_0+\phi(x,y)$的唯一连续解。

---

解：
　　先证序列$\left\{y_n(x)\right\}$是收敛的
　　由递推关系
$$|y_n(x)-y_0(x)|=|\phi(x,y_{n-1}(x))|<(1-\lambda)\Delta$$
　　所以每一个$y_n$都在邻域$D$内
　　由$Lagrange$中值定理可知
$$\begin{eqnarray*}
|y_{n+1}(x)-y_n(x)|&=&|\phi(x,y_n(x))-\phi(x,y_{n-1}(x))|\\
&=&|\phi'_y(x,\theta)(y_n(x)-y_{n-1}(x))|, \theta \in [y_{n-1}(x),y_n(x)]\\
&<&\lambda|y_n(x)-y_{n-1}(x)|
\end{eqnarray*}$$
　　故序列$\left\{y_n(x)\right\}$满足压缩性条件，所以收敛
　　不妨设
$$\lim\limits_{n \to \infty}y_n(x) = y$$
　　在递推关系两边取极限，并由$\phi(x,y)$的连续性，得到
$$y=y_0+\phi(x,y)$$
　　于是极限函数为隐式方程$y=y_0+\phi(x,y)$的连续解
　　再证唯一性
　　假设$y=u(x)$和$y=v(x)$都是隐式方程的解
　　那么
$$\left\{ \begin{array}{l}
u(x)=y_0+\phi(x,u(x))\\
v(x)=y_0+\phi(x,v(x))
\end{array} \right.$$
　　两式相减，由$Lagrange$中值定理可知
$$\begin{eqnarray*}
|u(x)-v(x)|&=&|\phi(x,u(x))-\phi(x,v(x))|\\
&=&|\phi'_y(x,\theta)(u(x)-v(x))|, \theta \in [u(x),v(x)]\\
&<&\lambda|u(x)-v(x)|
\end{eqnarray*}$$
　　得到$\lambda>1$，矛盾
　　故解是唯一的。