裴礼文 多元积分学 920页 练习7.2.27 解答

castelu

练习7.2.27：
　　求积分
$$\iint\limits_{|x|+|y| \le 1}\frac{(|x|+|y|)^2\ln(|x|+|y|)}{x^2+y^2}dxdy$$

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解：
$$\iint\limits_{|x|+|y| \le 1}\frac{(|x|+|y|)^2\ln(|x|+|y|)}{x^2+y^2}dxdy=4\iint\limits_{x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1}\frac{(x+y)^2\ln(x+y)}{x^2+y^2}dxdy$$
　　令
$$\left\{ \begin{array}{l}
u=x-y\\
v=x+y
\end{array} \right.$$
　　则
$$dxdy=\frac{1}{2}dudv$$
$$\begin{eqnarray*}
\iint\limits_{|x|+|y| \le 1}\frac{(|x|+|y|)^2\ln(|x|+|y|)}{x^2+y^2}dxdy&=&4\int_0^1dv\int_{-v}^v\frac{v^2\ln v}{v^2+u^2}du\\
&=&2\pi\int_0^1v\ln vdv\\
&=&-\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}$$