裴礼文 多元积分学 965页 练习7.3.22 解答

castelu

练习7.3.22：
　　设$f(x)$，$g(x)$有连续的导函数，
（1）若$yf(xy)dx+xg(xy)dy$为恰当微分，试求$f-g$；
（2）若$f(x)$有原函数$\phi(x)$，试求
$$yf(xy)dx+xg(xy)dy$$
的原函数。

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解：
（1）令$P(x,y)=yf(xy)$，$Q(x,y)=xg(xy)$
　　于是
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=g(xy)+xyg'(xy), \frac{\partial P}{\partial y}=f(xy)+xyf'(xy)$$
　　由于$yf(xy)dx+xg(xy)dy$为恰当微分，故
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$
　　所以
$$f(xy)-g(xy)+xy(f'(xy)+g'(xy))=0$$
　　令
$$t=xy, h(t)=f(t)-g(t)$$
　　得到
$$h(t)+th'(t)=0$$
　　解得
$$h(t)=\frac{C}{t}$$
　　那么
$$f(xy)-g(xy)=\frac{C}{xy}（C是任意常数） $$
（2）设存在二元函数$u(x,y)$，满足
$$du=yf(xy)dx+xg(xy)dy$$
　　于是
$$\frac{\partial u}{\partial x}=y\phi'(xy)=\frac{\partial \phi(xy)}{\partial x}$$
　　那么
$$u(x,y)=\phi(xy)+\psi(y)$$
　　由（1）的讨论
$$\phi'(xy)-g(xy)=\frac{C}{xy}$$
　　可知
$$\phi'(xy)=g(xy)+\frac{C}{xy}$$
　　再由
$$\frac{\partial u}{\partial y}=x\phi'(xy)+\psi'(y)=xg(xy)+\frac{C}{y}+\psi'(y)$$
　　于是
$$\frac{C}{y}+\psi'(y)=0$$
　　解得
$$\psi(y)=-C\ln|y|+D$$
　　所以
$$u(x,y)=\phi(xy)-C\ln|y|+D（C，D是任意常数）$$