蓝以中上册 向量空间与矩阵 117页 习题四7 解答

castelu

习题四7：
　　设$A \in M_{m,n}(K)$，$B \in M_{n,s}(K)$。如果$AB=0$，证明
$$r(A)+r(B) \le n$$

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解：
　　令$B=(B_1,B_2,\cdots,B_s)$，则
$$AB=A(B_1,B_2,\cdots,B_s)=(AB_1,AB_2,\cdots,AB_s)=O$$
　　故有
$$AB_1=AB_2=\cdots=AB_s=0$$
　　即齐次线性方程组
$$AX=0$$
　　有$s$组解
$$B_1,B_2,\cdots,B_s$$
　　设秩
$$r(A)=r$$
　　则
$$B_1,B_2,\cdots,B_s$$
　　可由$n-r$个线性无关的解向量线性表示，则秩
$$r(B) \le n-r$$
　　即
$$r(A)+r(B) \le r+(n-r)=n$$