蓝以中上册 向量空间与矩阵 118页 习题四12 解答

castelu

习题四12：
　　设$A$，$B$是数域$K$上两个$n \times n$矩阵且$AB=BA$。又设$C$是将$A$，$B$的行向量依次排列所得的$2n \times n$矩阵，即$C=\left( \begin{array}{l}
A\\
B
\end{array} \right)$。证明
$$r(A)+r(B) \ge r(C)+r(AB)$$

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解：
　　设$V_1$是齐次线性方程组
$$AX=0$$
　　的解空间，$V_2$是齐次线性方程组
$$BX=0$$
　　的解空间
　　设$U$是齐次线性方程组
$$ABX=BAX=0$$
　　的解空间，$W$是齐次线性方程组
$$CX=0$$
　　的解空间
　　那么我们有
$$V_1 \subset U,V_2 \subset U$$
　　从而
$$V_1+V_2 \subset U$$
　　而且
$$V_1 \cap V_2 \subset W$$
　　由维数公式
$$\dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2)+\dim V_1 \cap V_2 \le \dim U+\dim W$$
　　从而
$$n-r(A)+n-r(B) \le n-r(AB)+n-r(C)$$
　　即
$$r(A)+r(B) \ge r(C)+r(AB)$$