蓝以中上册 向量空间与矩阵 152页 习题六12 解答

castelu

习题六12：
　　证明下列命题：
（1）设$A$，$B$分别是数域$K$上的$m \times n$矩阵和$n \times m$矩阵。如果$AB$为$m$阶单位矩阵，则$r(A)=r(B)$；
（2）设$A \in M_{m,n}(K)$，$B \in M_{n,s}(K)$，$C \in M_{s,t}(K)$，则
$$r(A)+r(B)+r(C) \le n+s+\min\left\{r(A),r(B),r(C)\right\}$$

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解：
（1）由于$A \in M_{m,n}(K)$，$B \in M_{n,m}(K)$，根据秩不等式
$$r(AB) \le \min\left\{r(A),r(B)\right\}$$
　　一方面
$$r(AB)=r(E_m)=m \le r(A) \le \min\left\{m,n\right\}$$
　　另一方面
$$r(AB)=r(E_m)=m \le r(B) \le \min\left\{m,n\right\}$$
　　于是
$$r(A)=r(B)=m$$
（2）由于$A \in M_{m,n}(K)$，$B \in M_{n,s}(K)$，$C \in M_{s,t}(K)$，根据$Frobenius$不等式
$$r(AB)+r(BC) \le r(ABC)+r(B)$$
　　可以得到
$$r(A)+r(B)-n \le r(AB) \le \min\left\{r(A),r(B)\right\}$$
　　同理
$$r(B)+r(C)-s \le r(BC) \le \min\left\{r(B),r(C)\right\}$$
　　两式相加
$$r(A)+2r(B)+r(C) \le n+s+\min\left\{r(A),r(B)\right\}+\min\left\{r(B),r(C)\right\}$$
　　显然
$$\min\left\{r(A),r(B)\right\}+\min\left\{r(B),r(C)\right\} \le \min\left\{r(A),r(B),r(C)\right\}+r(B)$$
　　所以
$$r(A)+r(B)+r(C) \le n+s+\min\left\{r(A),r(B),r(C)\right\}$$