蓝以中上册 行列式 210页 习题二15 解答

castelu

习题二15：
　　给定数域$K$内的数所组成的无穷序列$a_0,a_1,a_2,\cdots$。对于任意的非负整数$s,m$，定义
$$A_{s,m}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_s}&{a_{s+1}}&{\cdots}&{a_{s+m}}\\
{a_{s+1}}&{a_{s+2}}&{\cdots}&{a_{s+m+1}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{a_{s+m}}&{a_{s+m+1}}&{\cdots}&{a_{s+2m}}
\end{array}} \right)$$
　　如果存在非负整数$n,k$，使当$s \ge k$时$|A_{s,n}|=0$，证明：存在$K$内不全为$0$的数$b_0,b_1,\cdots,b_n$及非负整数$S$，使得当$s \ge S$时，有
$$a_sb_n+a_{s+1}b_{n-1}+\cdots+a_{s+n}b_0=0$$

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解：
　　现设对非负整数$n,k$，当
$$s \ge k$$
　　时
$$|A_{s,n}|=0$$
　　且$n$为满足此条件的最小正整数
　　我们只要证明：对所有$s \ge k$
$$|A_{s,n-1}| \ne 0$$
　　用反证法。若对某个$s_0 \ge k$有
$$|A_{s_0,n-1}|=0$$
　　于是矩阵$A_{s_0,n}$的前$n$个行向量
$$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n-1}$$
　　去掉最后一个分量后所得向量组
$$\gamma_0',\gamma_1',\cdots,\gamma_{n-1}'（即为矩阵A_{s_0,n-1}的n个行向量）$$
　　线性相关。
　　设$\gamma_{i_0}'$是自左至右第一个能被后面向量线性表示的向量（设$a_0\gamma_0'+a_1\gamma_1'+\cdots+a_{n-1}\gamma_{n-1}'=0$），自左至右第一个不为$0$的系数为$a_{i_0}$，则$\gamma_{i_0}'$即为所求）：
$$\gamma_{i_0}'=b_1\gamma_{i_0+1}'+b_2\gamma_{i_0+2}'+\cdots+b_{n-i_0-1}\gamma_{n-1}'$$
（1）如果$i_0>0$
　　在矩阵$A_{s_0,n}$内将第$i_0+j+1$个行向量乘以$(-b_j)$加到第$i_0+1$行（$j=1,2,\cdots,n-1-i_0$），得
$$B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_{s_0}}&{a_{s_0+1}}&{\cdots}&{\cdots}&{a_{s_0+n}}\\
{a_{s_0+1}}&{a_{s_0+2}}&{\cdots}&{\cdots}&{a_{s_0+n+1}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{}&{}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{b}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{}&{}\\
{a_{s_0+n}}&{a_{s_0+n+1}}&{\cdots}&{\cdots}&{a_{s_0+2n}}
\end{array}} \right)$$
　　左下角矩阵有一行为零向量，故其行列式为$0$，但它是由$A_{s_0+1,n-1}$经上述初等行变换得出的。
　　故
$$|A_{s_0+1,n-1}|=0$$
（2）$i_0=0$
　　在矩阵$A_{s_0,n}$内将第$j+1$个行向量乘以$(-b_j)$加到第$1$行（$j=1,2,\cdots,n-1$），矩阵变成
$$B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}&{\cdots}&{\cdots}&{0}&{b}\\
{a_{s_0+1}}&{a_{s_0+2}}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{a_{s_0+n+1}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{}&{}&{}\\
{a_{s_0+n}}&{a_{s_0+n+1}}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{a_{s_0+2n}}
\end{array}} \right)$$
　　$B$中左下角框出的矩阵是$A_{s_0+1,n-1}$。显然
$$0=|A_{s_0,n}|=|B|=b|A_{s_0+1,n-1}|$$
　　若$b \ne 0$，则
$$|A_{s_0,n-1}|=0$$
　　如果$b=0$，注意$B$中右上角的矩阵是$A_{s_0+1,n-1}$经上述初等行变换得出的（上面初等行变换是把$A_{s_0,n}$的第$2,3,\cdots,n$行乘一个倍数加到第$1$行，与第$n+1$行无关）
　　现在它的第$1$行为零向量，故
$$|A_{s_0+1,n-1}|=0$$
　　从上面论证知
$$|A_{s_0+1},n-1|=0$$
　　同理
$$|A_{s_0+2,n-1}|=0,\cdots$$
　　即当
$$s \ge s_0$$
　　时
$$|A_{s,n-1}|=0$$
　　于是$n-1$也满足题中的条件，这与$n$的最小性矛盾。
　　这说明对所有$s \ge k$
$$|A_{s,n-1}| \ne 0$$
　　这表示$A_{s,n-1}$的行向量组线性无关
　　而这又推出$A_{s,n}$的前$n$个行向量线性无关，但
$$|A_{s,n}|=0$$
　　其行向量组线性无关
　　$A_{s,n}$的第$n+1$个行向量可被前$n$个行向量线性表示，即
$$A_{s,n}X=0$$
　　的第$n+1$个方程可被前$n$个方程线性表示。
　　前$n$个方程组成的齐次线性方程组的任一组解也是第$n+1$个方程的解。
　　现在因为
$$|A_{k,n}|=0$$
　　故齐次线性方程组
$$A_{k,n}X=0$$
　　有一组非零解
$$x_0=b_0,x_1=b_1,\cdots,x_n=b_n$$
　　即
$$\left\{ \begin{array}{l}
a_kb_n+a_{k+1}b_{n-1}+\cdots+a_{k+n}b_0=0\\
\cdots\\
a_{k+n}b_n+a_{k+n+1}b_{n-1}+\cdots+a_{k+2n}b_0=0
\end{array} \right.$$
　　上述等式组后$n$个表示
$$x_0=b_0,x_1=b_1,\cdots,x_n=b_n$$
　　是齐次线性方程组
$$A_{k+1,n}X=0$$
　　的前$n$个方程的解。
　　按上面的论证，它也是第$n+1$个方程的解，从而它是齐次线性方程组
$$A_{k+1,n}X=0$$
　　的解
　　同理，它也是
$$A_{k+1,n}X=0$$
　　的解，以此类推，可知当$s \ge k$时，有
$$a_sb_n+a_{s+1}b_{n-1}+\cdots+a_{s+n}b_0=0$$