蓝以中上册 线性空间与线性变换 245页 习题一12 解答

castelu

习题一12：
　　给定如下$3$阶方阵：
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{w}&{0}\\
{0}&{0}&{w^2}
\end{array}} \right), w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$
　　由$A$的实系数多项式$f(A)$的全体组成的集合关于矩阵加法、数乘组成实数域上线性空间，求它的维数和一组基。

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解：
　　这个线性空间为$V=\left\{f(A)|f(x) \in R(x)\right\}$，其代数运算是矩阵的加法和实数与矩阵的乘法，由题设可知
$$w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, w^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}, w^3=1$$
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{w}&{0}\\
{0}&{0}&{w^2}
\end{array}} \right), A^2=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{w^2}&{0}\\
{0}&{0}&{w}
\end{array}} \right), A^3=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{1}&{0}\\
{0}&{0}&{1}
\end{array}} \right)$$
　　由此可以推知
$$w^n=\left\{ \begin{array}{l}
1, n=3q\\
w, n=3q+1\\
w^2, n=3q+2
\end{array} \right., A^n=\left\{ \begin{array}{l}
E, n=3q\\
A, n=3q+1\\
A^2, n=3q+2
\end{array} \right.$$
　　下证$E,A,A^2$线性无关，设
$$k_0E+k_1A+k_2A^2=0$$
　　即
$$\left\{ \begin{array}{l}
k_0+k_1+k_2=0\\
k_0+wk_1+w^2k_2=0\\
k_0+w^2k_1+wk_2=0
\end{array} \right.$$
　　其系数行列式
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{1}&{1}\\
{1}&{w}&{w^2}\\
{1}&{w^2}&{w}
\end{array}} \right|=3(w^2-w) \ne 0$$
　　故方程组只有零解，$k_1=k_2=k_3=0$，所以$E,A,A^2$线性无关。
　　又对于$V$中任意一个
$$f(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_nA^n$$
　　可以写成
$$f(A)=c_0E+c_1A+c_2A^2$$
　　所以$E,A,A^2$是$V$的一组基，其维数是$3$。