蓝以中上册 线性空间与线性变换 245页 习题一14,15 解答

castelu

习题一14,15：
　　给定数域$K$上的一个$n$阶方阵$A \ne 0$。设
$$f(\lambda)=a_0\lambda^m+a_1\lambda^{m-1}+\cdots+a_m (a_0 \ne 0, a_i \in K)$$
　　是使$f(A)=0$的最低次多项式。设$V$是由系数在$K$内的$A$的多项式的全体关于矩阵加法、数乘所组成的$K$上线性空间，证明：
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　是$V$的一组基，从而$\dim V=m$。求$V$中向量
$$(A-aE)^k (a \in K, 0 \le k \le m)$$
　　在这组基下的坐标。
　　证明
$$(A-aE)^k (k=0,1,2,\cdots,m-1)$$
　　也是$V$的一组基。求两组基之间的过渡矩阵$T$：
$$(E,A-aE,\cdots,(A-aE)^{m-1})=(E,A,\cdots,A^{m-1})T$$

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解：
　　先证
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　线性无关
　　反证，设有不全为$0$的数
$$c_0,c_1,\cdots,c_{m-1} \in K$$
　　使得
$$c_0+c_1A+\cdots+c_{m-1}A^{m-1}=O$$
　　令
$$g(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{m-1}x^{m-1} \in K[x]$$
　　则$f(x)$与$g(x)$在$K$上有公共根
　　由于$f(x)$是使$f(A)=0$的的最低次多项式，所以$f(x)$在$K$上不可约
　　于是
$$f(x)|g(x)$$
　　若不然
$$(f(x),g(x))=1$$
　　那么
$$\exists u(x), v(x) \in K[x]$$
　　使得
$$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$$
　　将$A$代入，得到
$$u(A)f(A)+v(A)g(A)=E$$
　　也即
$$O=E$$
　　矛盾
　　所以
$$f(x)|g(x)$$
　　但这与$f(x)$次数的最小性矛盾
　　于是
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　线性无关
　　又对于$V$中任意一个
$$f(A)=d_0E+d_1A+\cdots+d_nA^n$$
　　可以写成
$$f(A)=a_1A^{m-1}+a_2A^{m-2}+\cdots+a_m$$
　　所以
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　是$V$的一组基，从而
$$\dim V=m$$
　　$V$中向量
$$(A-aE)^k (a \in K, 0 \le k \le m)$$
　　当$k<m$时
　　按二项式定理展开
$$(A-aE)^k=\sum\limits_{r=0}^k(-a)^rC_k^rA^{k-r}$$
　　在基
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　下的坐标是
$$((-a)^k,(-a)^{k-1}k,\cdots,1)$$
　　当$k=m$时
　　按二项式定理展开
$$(A-aE)^m=\sum\limits_{r=0}^m(-a)^rC_m^rA^{m-r}=A^m+(-am)A^{m-1}+\cdots+(-a)^m$$
　　而
$$A^m=-\frac{a_1}{a_0}A^{m-1}-\frac{a_2}{a_0}A^{m-2}-\cdots-\frac{a_m}{a_0}$$
　　在基
$$E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}$$
　　下的坐标是
$$((-a)^m-\frac{a_m}{a_0},(-a)^{m-1}k-\frac{a_{m-1}}{a_0},\cdots,1-\frac{a_1}{a_0})$$
　　按$Taylor$展开公式
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(m-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{m-1}$$
　　将$A$代入，得到
$$f(A)=f(aE)+f'(aE)(A-aE)+\cdots+\frac{f^{(m-1)}(aE)}{(n-1)!}(A-aE)^{m-1}$$
　　由于$Taylor$展开公式的唯一性，可知
$$(A-aE)^k (k=0,1,2,\cdots,m-1)$$
　　也是$V$的一组基。
　　设两组基之间的过渡矩阵为$T$，即
$$(E,A-aE,\cdots,(A-aE)^{m-1})=(E,A,\cdots,A^{m-1})T$$
　　由刚才求得的坐标公式，可知
$$T=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{-a}&{\cdots}&{(-a)^{m-1}}\\
{0}&{1}&{\cdots}&{(-a)^{m-2}(m-1)}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{1}
\end{array}} \right)$$
　　显然过渡矩阵$T$可逆，亦知
$$(A-aE)^k (k=0,1,2,\cdots,m-1)$$
　　也是$V$的一组基。