蓝以中上册 线性空间与线性变换 246页 习题一18 解答

castelu

习题一18：
　　考查数域$K$上线性空间$K[x]_n$。给定$K$上$n$个两两不等的数$a_1,a_2,\cdots,a_n$。令
$$f_i(x)=(x-a_1)\cdots\widehat{(x-a_i)}\cdots(x-a_n)(i=1,2,\cdots,n)$$
　　（记号“$\widehat{}$”表示去掉该项）。证明$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$为$K[x]_n$的一组基。

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解：
　　设
$$k_1f_1(x)+k_2f_2(x)+\cdots+k_nf_n(x)=0$$
　　令$x=a_1$代入上式，得
$$k_1f_1(a_1)+k_2f_2(a_1)+\cdots+k_nf_n(a_1)=0$$
　　又由于
$$f_2(a_1)=f_3(a_1)=\cdots=f_n(a_1)=0, f_1(a_1) \ne 0$$
　　从而有
$$k_1f_1(a_1)=0$$
　　进而得
$$k_1=0$$
　　同理将$x=a_2,\cdots,x=a_n$分别代入上式，可得
$$k_2=k_3=\cdots=k_n=0$$
　　所以
$$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$$
　　线性无关
　　且
$$\dim K[x]_n=n$$
　　故
$$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$$
　　是$K[x]_n$的一组基。