蓝以中上册 线性空间与线性变换 247页 习题一20 解答

castelu

习题一20：
　　设$A$是数域$K$上的$n$阶方阵。证明存在$K$上次数$\le n^2$的多项式$f(x)$，使$f(A)=0$。

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解：
　　因为数域$K$上的$n$阶方阵的全体组成的线性空间是$n^2$维的，所以$n^2+1$个方阵
$$A^{n^2},A^{n^2-1},\cdots,A,E$$
　　一定线性相关，即存在一组不全为$0$的数$a_{n^2},a_{n^2-1},\cdots,a_1,a_0$，使得
$$a_{n^2}A^{n^2}+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+\cdots+a_1A+a_0E=O$$
　　令
$$f(x)=a_{n^2}x^{n^2}+a_{n^2-1}x^{n^2-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
　　由于$a_{n^2},a_{n^2-1},\cdots,a_1,a_0$不全为零，所以$\partial(f(x)) \le n^2$
　　即存在$K[x]$中一个次数小于等于$n^2$的多项式$f(x)$，使得$f(A)=O$。
　　事实上，设$A$的特征多项式为
$$g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0$$
　　根据$Hamilton-Caylay$定理
$$g(A)=O$$
　　而且$b_n,\cdots,b_1,b_0$不全为零，所以$\partial(g(x)) \le n \le n^2$
　　即存在$K[x]$中一个次数小于等于$n^2$的多项式$f(x)$，使得$f(A)=O$。