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习题二8:
设$M$是数域$K$上线性空间$V$的子空间,如果$M \ne V$,则$M$称为$V$的真子空间。证明$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$。
解:
设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
是线性空间$V$的$s$个真子空间
只需证明:$V$中至少有一向量不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
中任何一个
就有$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$
若
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
都是零空间,显然
$$\forall \alpha \ne 0$$
$\alpha$就是需要找的向量
故不妨假设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
都是非平凡子空间
应用数学归纳法证明
当$s=2$时
因$V_1,V_2$为非平凡子空间,故存在
$$\alpha \notin V_1$$
如果
$$\alpha \notin V_2$$
则命题已证
若
$$\alpha \in V_2$$
另外存在
$$\beta \notin V_2$$
如果
$$\beta \notin V_1$$
则得证
若
$$\beta \in V_1$$
即
$$\alpha \notin V_1,\alpha \in V_2$$
及
$$\beta \in V_1,\beta \notin V_2$$
可得
$$\alpha+\beta \notin V_1,V_2$$
事实上,若
$$\alpha+\beta \in V_1$$
又
$$\beta \in V_1$$
则必定
$$\alpha \in V_1$$
这与假设矛盾,故
$$\alpha+\beta \in V_1$$
同理可证
$$\alpha+\beta \notin V_2$$
结论成立
假定对于$s-1$结论成立
那么对于$s$个子空间
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
至少存在$V$中一个向量
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
若
$$\alpha \notin V_s$$
则结论成立
若
$$\alpha \in V_s$$
又由$V_s$是非平凡子空间知,存在$V$中一个向量
$$\beta \notin V_s$$
于是向量
$$\alpha+\beta,\alpha+2\beta,\cdots,\alpha+s\beta$$
中至少有一个不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
的每一个
否则,必有两个这样的向量运算同属于某个
$$V_i(1 \le i \le s-1)$$
从而得出
$$\alpha \in V_i$$
这与
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
矛盾
可设
$$\beta+m\alpha(1 \le m \le s)$$
不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
中的每一个
又由
$$\alpha \in V$$
以及
$$\beta \notin V$$
知
$$\beta+m\alpha \notin V$$
所以$V$中至少有一个向量
$$\beta+m\alpha$$
不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
中任何一个。 |
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