蓝以中上册 线性空间与线性变换 270页 习题二23 解答

castelu

习题二23：
　　设$M_1,M_2,\cdots,M_k$为数域$K$上线性空间$V$的子空间。证明和$\sum\limits_{i=1}^kM_i$为直和的充分必要条件是
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}M_j\right)=\left\{0\right\}(i=2,3,\cdots,k)$$

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解：
　　必要性
　　由于$\sum\limits_{i=1}^kM_i$为直和，故
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j \ne i}M_j\right)=\left\{0\right\}(i=1,2,\cdots,k)$$
　　显然有
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}M_j\right)=\left\{0\right\}(i=2,3,\cdots,k)$$
　　充分性
　　归纳假设对于$\sum\limits_{i=1}^{k-1}M_i$为直和
　　反证，若和$\sum\limits_{i=1}^kM_i$不是直和，则
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j \ne i}M_j\right) \ne \left\{0\right\}(i=1,2,\cdots,k)$$
　　故$\exists \alpha_i \in M_i$
$$\alpha_i=\sum\limits_{j \ne i}\alpha_j(i=1,2,\cdots,k)$$
　　于是
$$\alpha_k=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_{i-1}-\alpha_i+\alpha_{i+1}+\cdots+\alpha_{k-1}$$
　　但是
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}M_j\right)=\left\{0\right\}(i=2,3,\cdots,k)$$
　　所以
$$\alpha_k=0$$
　　根据归纳假设
$$\alpha_i=0(i=1,2,\cdots,k)$$
　　那么
$$M_i \cap \left(\sum\limits_{j \ne i}M_j\right) = \left\{0\right\}(i=1,2,\cdots,k)$$
　　矛盾。