蓝以中上册 线性空间与线性变换 270页 习题二26 解答

castelu

习题二26：
　　令$M$为$M_n(K)$内全体反对称矩阵所成的子空间，试求$M_n(K)/M$的维数和一组基。

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解：
　　用$E_{ij}$表示$i$行$j$列的元素为$1$，而其余元素全为零的$n \times n$矩阵
　　易知
$$E_{ij}-E_{ji}(1 \le i \le j \le n)$$
　　是$M$的一组基，其维数是
$$\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\frac{n(n-1)}{2}$$
　　令$N$为$M_n(K)$内全体对称矩阵所成的子空间
　　易知
$$E_{ij}+E_{ji}(1 \le i \le j \le n),E_{ii}(1 \le i \le n)$$
　　是$N$的一组基，其维数是
$$\sum\limits_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$$
　　于是
$$\dim M+\dim N=n^2=\dim M_n(K)$$
　　任取
$$A \in M \cap N$$
　　由于$A$既是反对称矩阵，也是对称矩阵，所以
$$A'=A=-A$$
　　那么
$$A=O$$
　　故
$$M \cap N=\left\{0\right\}$$
　　所以
$$M_n(K)=M \oplus N$$
　　根据商空间维数公式
$$\dim(M_n(K)/M)=\dim M_n(K)-\dim M=\frac{n(n+1)}{2}$$
　　而且
$$\overline{E_{ij}}+\overline{E_{ji}}(1 \le i \le j \le n)，\overline{E_{ii}}(1 \le i \le n)$$
　　恰为商空间$M_n(K)/M$的一组基