蓝以中上册 线性空间与线性变换 272页 习题二29 解答

castelu

习题二29：
　　设$K,F,L$是三个数域，且$K \subseteq F \subseteq L$。如果$F$作为$K$上的线性空间是$m$维的，$L$作为$F$上的线性空间是$n$维的（其加法，数乘都是数的加法与乘法）。证明$L$作为$K$上的线性空间是$mn$维的。

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解：
　　假定$V$是$U$的线性空间，$V$中线性无关元的个数如果有最大数，叫做$V$关于$U$的维数，用记号$(V:U)$表示
　　已知$(F:K)=m$，设$v_1,v_2,\cdots,v_m$是$F$关于$K$的基底
　　又已知$(L:F)=n$，设$u_1,u_2,\cdots,u_n$是$L$关于$F$的基底
　　那么$mn$个元
$$v_iu_j,i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n$$
　　是$L$中关于$K$线性无关的元。这是因为，如果
$$\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^mc_{ij}v_iu_j=\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^mc_{ij}v_i\right)u_j=0,c_{ij} \in K$$
　　因为$u_1,u_2,\cdots,u_n$关于$F$线性无关，所以我们有
$$\sum\limits_{i=1}^mc_{ij}v_i=0,j=1,2,\cdots,n$$
　　又因为$v_1,v_2,\cdots,v_m$关于$K$线性无关，所以
$$c_{ij}=0,i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n$$
　　再假如$\alpha$是$L$中任意元，因为$u_i$是$L$关于$F$的基底，所以
$$\alpha=\sum\limits_{j=1}^na_ju_j,a_j \in F$$
　　又因为$v_j$是$F$关于$K$的基底，所以
$$u_j=\sum\limits_{i=1}^mb_{ij}v_i$$
　　因此
$$\alpha=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^mb_{ij}v_iu_j$$
　　这就是说，$L$中任意元是$v_iu_j$的线性组合，因此$v_iu_j$是$L$关于$K$的基底，所以$(L:K)=mn$。