蓝以中上册 线性空间与线性变换 294页 习题一2(5),习题二3,习题三3 解答

castelu

习题一2(5)，习题二3，习题三3：
　　检验以下集合对于所指定的运算是否构成实数域上的线性空间：
　　全体实数的二元有序数组所成的集合关于下面定义的运算：
$$(a_1,b_1) \oplus (a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2)$$
$$k \circ (a,b)=\left[ka,kb+\frac{k(k-1)}{2}a^2\right]$$
　　给定子集$M=\left\{(a,0)|a \in R\right\},N=\left\{(0,b)|b \in R\right\}$。问$M,N$是否为子空间？
　　如果构成实数域上的线性空间，找出它和$R^2$之间的一个同构映射。

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解：
　　能构成实数域上的线性空间
　　记$V=\left\{(a,b)|a,b \in R\right\}$，显然，$V$对所定义的加法和数量乘法封闭。不难验证：
　　对于加法
　　1、满足交换律
　　2、满足结合律
　　3、由于$(a_1,b_1) \oplus (0,0)=(a_1,b_1)$，所以$(0,0)$是$V$中的零元素
　　4、若
$$(a_1,b_1) \oplus (a_2,b_2)=(0,0)$$
　　则
$$a_1+a_2=0,b_1+b_2+a_1a_2=0$$
　　因此
$$a_2=-a_1,b_2=a_1^2-b_1$$
　　即$(a_1,b_1)$在$V$中的负向量是$(-a_1,a_1^2-b_1)$
　　对于数乘
　　5、
$$1 \circ (a,b)=\left[a,b+\frac{1 \times (1-1)}{2}a^2\right]=(a,b)$$
　　6、
$$\begin{eqnarray*}
k \circ (l \circ (a,b))&=&k \circ \left[la,lb+\frac{l(l-1)}{2}a^2\right]\\
&=&\left[kla,k\left[lb+\frac{(l(l-1)}{2}a^2\right]+\frac{k(k-1)}{2}(la)^2\right]\\
&=&\left[kla,klb+\frac{kl(kl-1)}{2}a^2\right]\\
&=&(kl) \circ (a,b)
\end{eqnarray*}$$
　　7、
$$(k+l) \circ (a,b)=\left[(k+l)a,(k+l)b+\frac{(k+l)(k+l-1)}{2}a^2\right]$$
　　而
$$\begin{eqnarray*}
k \circ (a,b) \oplus l \circ (a,b)&=&\left[ka,kb+\frac{k(k-1)}{2}a^2\right] \oplus \left[la,lb+\frac{l(l-1)}{2}a^2\right]\\
&=&\left[ka+la,kb+lb+\frac{k(k-1)}{2}a^2+\frac{l(l-1)}{2}a^2+kla^2\right]\\
&=&\left[(k+l)a,(k+l)b+\frac{(k+l)(k+l-1)}{2}a^2\right]
\end{eqnarray*}$$
　　所以
$$(k+l) \circ (a,b)=k \circ (a,b) \oplus l \circ (a,b)$$
　　8、
$$\begin{eqnarray*}
k \circ [(a_1,b_1) \oplus (a_2,b_2)]&=&k \circ (a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2)\\
&=&\left[k(a_1+a_2),k(b_1+b_2+a_1a_2)+\frac{k(k-1)}{2}(a_1+a_2)^2\right]
\end{eqnarray*}$$
　　而
$$\begin{eqnarray*}
&&k \circ (a_1,b_1) \oplus k \circ (a_2,b_2)=\left[ka_1,kb_1+\frac{k(k-1)}{2}a_1^2\right] \oplus \left[ka_2,kb_2+\frac{k(k-1)}{2}a_2^2\right]\\
&=&\left[ka_1+ka_2,kb_1+\frac{k(k-1)}{2}a_1^2+kb_2+\frac{k(k-1)}{2}a_2^2+k^2a_1a_2\right]\\
&=&\left[k(a_1+a_2),k(b_1+b_2+a_1a_2)+\frac{k(k-1)}{2}a_1^2+\frac{k(k-1)}{2}a_2^2+k^2a_1a_2-ka_1a_2\right]\\
&=&\left[k(a_1+a_2),k(b_1+b_2+a_1a_2)+\frac{k(k-1)}{2}(a_1+a_2)^2\right]
\end{eqnarray*}$$
　　故
$$k \circ [(a_1,b_1) \oplus (a_2,b_2)]=k \circ (a_1,b_1) \oplus k \circ (a_2,b_2)$$
　　所以构成线性空间
　　子集$M$对于$V$的两种运算不是封闭的，它不是子空间；子集$N$对于$V$的两种运算是封闭的，它是子空间。
　　定义映射如下：
$$f:V \to R^2$$
$$(a,b) \mapsto (a,-a^2+a+2b)$$
　　则有
$$\begin{eqnarray*}
f[(a_1,b_1) \oplus (a_2,b_2)]&=&f[(a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2)]\\
&=&(a_1+a_2,-a_1^2-a_2^2+a_1+a_2+2b_1+2b_2)\\
&=&(a_1,-a_1^2+a_1+2b_1)+(a_2,-a_2^2+a_2+2b_2)\\
&=&f(a_1,b_1)+f(a_2,b_2)
\end{eqnarray*}$$
　　对任意实数$k$，有
$$\begin{eqnarray*}
f[k \circ (a,b)]&=&f\left[(ka,kb+\frac{k(k-1)}{2}a^2\right]\\
&=&(ka,-ka^2+ka+2kb)\\
&=&k(a,-a^2+a+2b)\\
&=&kf(a,b)
\end{eqnarray*}$$
　　故$f$是一个线性映射。$f$显然是一个双射，所以$f$是$R$上线性空间$V$到$R^2$的同构映射。