蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三15 解答

castelu

习题三15：
　　设线性空间$V$分解为子空间$M,N$的直和：$V=M \oplus N$。令$P$为关于此直和分解式的$V$对$M$的投影变换，证明：
（1）$P^2=P$；
（2）若$M \ne V$，证明$P$不可逆；
（3）命$P_1$表示$V$关于上述直和分解式对子空间$N$的投影变换，证明$PP_1=P_1P=0$。

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解：
（1）任取$\alpha \in V$
　　若$\alpha \in M$，$P\alpha=\alpha$，$P^2\alpha=P(P\alpha)=\alpha$；
　　若$\alpha \in N$，$P\alpha=0$，$P^2\alpha=P(P\alpha)=0$；
　　于是$P^2=P, \forall \alpha \in V$。
（2）若$M \ne V$，对于$0 \in M$，在$P$的作用下，$0$的原像可能是$M$中的零元，也可能是$N$中的任意元，不唯一
　　故$P$不可逆。
（3）任取$\alpha \in V$
　　若$\alpha \in M$，$P_1\alpha=0$，$PP_1\alpha=P(P_1\alpha)=0$；
　　若$\alpha \in N$，$P_1\alpha=\alpha$，$PP_1\alpha=P(P_1\alpha)=0$；
　　若$\alpha \in M$，$P\alpha=\alpha$，$P_1P\alpha=P_1(P\alpha)=0$；
　　若$\alpha \in N$，$P\alpha=0$，$P_1P\alpha=P_1(P\alpha)=0$；
　　于是$PP_1=P_1P=0, \forall \alpha \in V$。