蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三16 解答

castelu

习题三16：
　　设$A$是线性空间$V$中的一个线性变换，且$A^2=A$，证明：
（1）$V$中任一向量$\alpha$可分解为
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$$
　　其中$A\alpha_1=\alpha_1$，$A\alpha_2=0$，且这种分解是唯一的；
（2）若$A\alpha=-\alpha$，则$\alpha=0$。

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解：
（1）$V$中任一向量$\alpha$可写成
$$\alpha=A\alpha+\alpha-A\alpha$$
　　令
$$\alpha_1=A\alpha, \alpha_2=\alpha-A\alpha$$
　　则
$$A\alpha_1=A(A\alpha)=A^2\alpha=A\alpha=\alpha_1$$
$$A\alpha_2=A(\alpha-A\alpha)=A\alpha-A^2\alpha=0$$
　　于是
$$\alpha_1 \in {\rm Im}A, \alpha_2 \in \ker A$$
　　任取
$$\beta \in {\rm Im}A \cap \ker A$$
$$\beta=A\alpha=A^2\alpha=A\beta=0$$
　　所以
$$V={\rm Im}A \oplus \ker A$$
　　故分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$$
　　是唯一的。
（2）若$A\alpha=-\alpha$
　　如果
$$\alpha \in \ker A$$
　　那么
$$A\alpha=-\alpha=0$$
　　则有
$$\alpha=0$$
　　如果
$$\alpha \notin \ker A$$
　　那么
$$A\alpha=A^2\alpha=A(A\alpha)=-A\alpha$$
　　可得
$$A\alpha=0$$
　　则有
$$\alpha=0$$