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[已解决] 蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三16 解答

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发表于 2016-6-3 18:21:43 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
习题三16:
  设$A$是线性空间$V$中的一个线性变换,且$A^2=A$,证明:
(1)$V$中任一向量$\alpha$可分解为
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$$
  其中$A\alpha_1=\alpha_1$,$A\alpha_2=0$,且这种分解是唯一的;
(2)若$A\alpha=-\alpha$,则$\alpha=0$。



解:
(1)$V$中任一向量$\alpha$可写成
$$\alpha=A\alpha+\alpha-A\alpha$$
  令
$$\alpha_1=A\alpha, \alpha_2=\alpha-A\alpha$$
  则
$$A\alpha_1=A(A\alpha)=A^2\alpha=A\alpha=\alpha_1$$
$$A\alpha_2=A(\alpha-A\alpha)=A\alpha-A^2\alpha=0$$
  于是
$$\alpha_1 \in {\rm Im}A, \alpha_2 \in \ker A$$
  任取
$$\beta \in {\rm Im}A \cap \ker A$$
$$\beta=A\alpha=A^2\alpha=A\beta=0$$
  所以
$$V={\rm Im}A \oplus \ker A$$
  故分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$$
  是唯一的。
(2)若$A\alpha=-\alpha$
  如果
$$\alpha \in \ker A$$
  那么
$$A\alpha=-\alpha=0$$
  则有
$$\alpha=0$$
  如果
$$\alpha \notin \ker A$$
  那么
$$A\alpha=A^2\alpha=A(A\alpha)=-A\alpha$$
  可得
$$A\alpha=0$$
  则有
$$\alpha=0$$
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