蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三17 解答

castelu

习题三17：
　　设$A$与$B$是两个线性变换，满足$A^2=A$，$B^2=B$。证明：若$(A+B)^2=A+B$，则$AB=O$。

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解：
　　因为
$$A^2=A, B^2=B, (A+B)^2=A+B$$
　　由
$$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+BA+AB+B^2=A+B$$
　　从而
$$AB+BA=0$$
　　或
$$AB=-BA$$
　　又
$$\begin{eqnarray*}
2AB&=&AB+AB=AB-BA=A^2B-BA^2\\
&=&A^2B+ABA=A(AB+BA)=AO=O
\end{eqnarray*}$$
　　所以
$$AB=O$$