蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三19 解答

castelu

习题三19：
　　设$V$为数域$K$上的线性空间。$A_1,A_2,\cdots,A_k$是$V$内$k$个两两不同的线性变换。证明$V$内存在向量$\alpha$，使$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$两两不同。

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解：
　　记
$$V_{ij}=\left\{\alpha|\alpha \in V, A_i\alpha=A_j\alpha\right\}(i,j=1,2,\cdots,k)$$
　　由于
$$A_i0=A_j0=0$$
　　即
$$0 \in V_{ij}$$
　　故$V_{ij}$非空
　　又因为
$$A_1,A_2,\cdots,A_k$$
　　两两不同
　　所以对于任意两个$A_i,A_j(i \ne j)$，总存在一向量$\beta$，使
$$A_i\beta \ne A_j\beta$$
　　否则，若对任一$\beta \in V$都有
$$A_i\beta=A_j\beta$$
　　则得$A_i=A_j$，这与题设矛盾，所以$V_{ij}$是$V$的真子集
　　设$\alpha,\beta \in V_{ij}$
　　有
$$A_i\alpha=A_j\alpha,A_i\beta=A_j\beta$$
　　所以
$$A_i(\alpha+\beta)=A_j(\alpha+\beta)$$
　　即
$$\alpha+\beta \in V_{ij}$$
　　又
$$A_i(k\alpha)=kA_i\alpha=kA_j\alpha=A_j(k\alpha)$$
　　即
$$k\alpha \in V_{ij}$$
　　故$V_{ij}$是$V$的真子空间。
（1）如果$V_{ij}$都是$V$的非平凡子空间
　　则由《蓝以中上册 线性空间与线性变换 268页 习题二8 解答》知
　　在$V$中至少有一向量不属于所有的$V_{ij}$
　　设$\alpha \notin V_{ij}$，则
$$A_i\alpha \ne A_j\alpha(i,j=1,2,\cdots,k)$$
　　即存在$V$中向量$\alpha$，使得
$$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$$
　　两两不同。
（2）如果$V_{ij}$中有$V$的平凡子空间$V_{i0j0}$
　　则$V_{i0j0}$只能是零空间
　　对于这种$V_{i0j0}$，只要取$\alpha \ne 0$，就有
$$A_i\alpha \ne A_j\alpha$$
　　故这样的$V_{i0j0}$可以去掉
　　考虑其余的非平凡子空间，问题归于（1）
　　即可知存在向量$\alpha$，使得
$$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$$
　　两两不同。