蓝以中上册 线性空间与线性变换 299页 习题三25 解答

castelu

习题三25：
　　在$n$维线性空间中，设有线性变换$A$与向量$\xi$，使$A^{n-1}\xi \ne 0$，但$A^n\xi=0$。求证：$A$在某一组基下的矩阵是
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{}&{}\\
{}&{0}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right)$$

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解：
　　先证
$$\xi,A\xi,A^2\xi,\cdots,A^{n-1}\xi$$
　　线性无关
　　设
$$a_1\xi+a_2A\xi+\cdots+a_nA^{n-1}\xi=0$$
　　用$A^{n-1}$作用于上式两边得
$$a_1A^{n-1}\xi=0$$
　　又
$$A^{n-1}\xi \ne 0$$
　　故
$$a_1=0$$
　　于是有
$$a_2A\xi+a_3A^2\xi+\cdots+a_nA^{n-1}\xi=0$$
　　用$A^{n-2}$作用于上式两边得
$$a_2A^{n-1}\xi=0$$
　　由
$$A^{n-1}\xi \ne 0$$
　　得
$$a_2=0$$
　　同理继续作下去，可得
$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$
　　所以
$$\xi,A\xi,A^2\xi,\cdots,A^{n-1}\xi$$
　　线性无关
　　故它们组成线性空间的一组基，因为
$$\left\{ \begin{array}{l}
A(A^{n-1}\xi)=A^n\xi=0 \cdot A^{n-1}\xi+0 \cdot A^{n-2}\xi+\cdots+0 \cdot A\xi\\
A(A^{n-2}\xi)=A^{n-1}\xi=1 \cdot A^{n-1}\xi+0 \cdot A^{n-2}\xi+\cdots+0 \cdot A\xi\\
\cdots\\
A(\xi)=A\xi=0 \cdot A^{n-1}\xi+0 \cdot A^{n-2}\xi+\cdots+1 \cdot A\xi
\end{array} \right.$$
　　故$A$在这组基下的矩阵为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{}&{}\\
{}&{0}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right)$$