蓝以中上册 线性空间与线性变换 301页 习题三35 解答

castelu

习题三35：
　　设$A$是数域$K$上$n$维线性空间$V$内的线性变换。证明下面的命题互相等价：
（1）$A$是可逆变换；
（2）对$V$内任意非零向量$\alpha$，$A\alpha \ne 0$；
（3）若$\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n$是$V$的一组基，则$A\epsilon_1,\cdots,A\epsilon_n$也是$V$的一组基；
（4）如果$V$分解为子空间$M,N$的直和：$V=M \oplus N$，那么有$V=A(M) \oplus A(N)$

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解：
（1）⇒（2）
　　反证法，设$A$的逆变换是$A^{-1}$
　　若$A\alpha=0$，以$A^{-1}$作用于等式两边，得到
$$\alpha=0$$
　　这与题设矛盾，故
　　对$V$内任意非零向量$\alpha$，$A\alpha \ne 0$
（2）⇒（3）
　　设$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A$，即
$$A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
　　$A$可逆的充分必要条件是矩阵$A$可逆
　　而矩阵$A$可逆的充分必要条件是
$$A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n$$
　　线性无关
　　则
$$A\epsilon_1,\cdots,A\epsilon_n$$
　　也是$V$的一组基
（3）⇒（4）
　　设
$$M={\rm span} \left\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m\right\}$$
$$N={\rm span} \left\{\epsilon_{m+1},\epsilon_{m+2},\cdots,\epsilon_n\right\}$$
　　由于
$$A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n$$
　　也是$V$的一组基
　　那么
$$A(M)={\rm span} \left\{A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_m\right\}$$
$$A(N)={\rm span} \left\{A\epsilon_{m+1},A\epsilon_{m+2},\cdots,A\epsilon_n\right\}$$
　　任取
$$\alpha \in A(M) \cap A(N)$$
　　一方面
$$\alpha=a_1A\epsilon_1+a_2A\epsilon_2+\cdots+a_mA\epsilon_m$$
　　另一方面
$$\alpha=a_{m+1}A\epsilon_{m+1}+a_{m+2}A\epsilon_{m+2}+\cdots+a_nA\epsilon_n$$
　　于是
$$a_1A\epsilon_1+a_2A\epsilon_2+\cdots+a_mA\epsilon_m=a_{m+1}A\epsilon_{m+1}+a_{m+2}A\epsilon_{m+2}+\cdots+a_nA\epsilon_n$$
　　以$A^{-1}$作用于等式两边，得到
$$a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\cdots+a_m\epsilon_m=a_{m+1}\epsilon_{m+1}+a_{m+2}\epsilon_{m+2}+\cdots+a_n\epsilon_n$$
　　由于
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　是$V$的基
　　所以
$$a_i=0,i=1,2,\cdots,n$$
　　故
$$\alpha=0$$
　　所以
$$V=A(M) \oplus A(N)$$
（4）⇒（1）
　　将子空间$M$与$N$，$A(M)$与$A(N)$的基分别合并成$V$的一组基，可知
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　是$V$的一组基
$$A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n$$
　　也是$V$的一组基
　　设$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A$，即
$$A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
　　由于
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　和
$$A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n$$
　　都是线性无关的向量组
　　所以矩阵$A$可逆，从而$A$是可逆变换。