蓝以中上册 线性空间与线性变换 301页 习题三36 解答

castelu

习题三36：
　　设$V,U$是数域$K$上的线性空间。从$V$到$U$的一个映射$f$若满足
$$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)(\forall \alpha,\beta \in V)$$
　　则称$f$为$V$到$U$的一个半线性映射。从$V$到$U$的所有半线性映射组成的集合记为$Q(V,U)$。
　　对任意$f,g \in Q(V,U), k \in K$，定义
$$(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha),(kf)(\alpha)=kf(\alpha)(\forall \alpha \in V)$$
（1）证明$f+g \in Q(V,U),kf \in Q(V,U)$；
（2）证明$Q(V,U)$关于上面定义的加法、数乘运算成为$K$上的线性空间；
（3）若$U,V$是有理数域$Q$上的线性空间（即$K=Q$），证明$Q(V,U)=\hom(V,U)$。

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解：
（1）由于$\forall \alpha,\beta \in V$
$$\begin{eqnarray*}
(f+g)(\alpha+\beta)&=&f(\alpha+\beta)+g(\alpha+\beta)\\
&=&f(\alpha)+f(\beta)+g(\alpha)+g(\beta)\\
&=&(f+g)(\alpha)+(f+g)(\beta)
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}(kf)(\alpha+\beta)&=&kf(\alpha+\beta)\\
&=&kf(\alpha)+kf(\beta)\\
&=&(kf)(\alpha)+(kf)(\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　故
$$f+g \in Q(V,U),kf \in Q(V,U)$$
（2）显然，$Q(V,U)$对所定义的加法和数量乘法封闭。不难验证：
　　对于加法
　　1、满足交换律
　　2、满足结合律
　　3、由于$f(\alpha+\beta)+0(\alpha+\beta)=f(\alpha+\beta)$ ，所以$0$变换是$Q(V,U)$中的零元素
　　4、若
$$f(\alpha+\beta)+g(\alpha+\beta)=0$$
　　则
$$f(\alpha)+f(\beta)+g(\alpha)+g(\beta)=0$$
　　因此
$$(f+g)(\alpha+\beta)=0$$
　　于是
$$g=-f$$
　　即$f$在$Q(V,U)$中的负向量是$-f$
　　对于数乘
　　5、
$$(1f)(\alpha+\beta)=1f(\alpha+\beta)=f(\alpha+\beta)$$
　　6、
$$k[(lf)(\alpha+\beta)]=klf(\alpha+\beta)=(klf)(\alpha+\beta)$$
　　7、
$$\begin{eqnarray*}
[(k+l)f](\alpha+\beta)&=&(k+l)[f(\alpha+\beta)]\\
&=&kf(\alpha+\beta)+lf(\alpha+\beta)\\
&=&(kf)(\alpha+\beta)+(lf)(\alpha+\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　8、
$$\begin{eqnarray*}
[k(f+g)](\alpha+\beta)&=&k(f+g)(\alpha+\beta)\\
&=&kf(\alpha+\beta)+kg(\alpha+\beta)\\
&=&(kf)(\alpha+\beta)+(kg)(\alpha+\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　所以$Q(V,U)$关于上面定义的加法、数乘运算成为$K$上的线性空间
（3）只要证明$\forall \alpha,\beta \in V,k \in Q,f(k\alpha)=kf(\alpha)$，则$Q(V,U)$成为线性映射
　　事实上
$$f(2\alpha)=f(\alpha+\alpha)=f(\alpha)+f(\alpha)=2f(\alpha)$$
　　若$\forall n \in N$
$$f[(n-1)\alpha]=(n-1)f(\alpha)$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
f(n\alpha)&=&f[(n-1)\alpha+\alpha]\\
&=&f[(n-1)\alpha]+f(\alpha)\\
&=&(n-1)f(\alpha)+f(\alpha)\\
&=&nf(\alpha)
\end{eqnarray*}$$
　　至此证明了
$$f(n\alpha)=nf(\alpha)(\forall n\in N)$$
　　在此式中用$\frac{\alpha}{n}$代换其中$\alpha$，则得
$$f(\alpha)=nf\left(\frac{\alpha}{n}\right)$$
$$f\left(\frac{1}{n}\alpha\right)=\frac{1}{n}f(\alpha)(\forall n \in N)$$
　　进一步可得
$$f\left(\frac{m}{n}\alpha\right)=\frac{m}{n}f(\alpha)(\forall n,m \in N)$$
　　又因
$$f(\alpha)=f(0+\alpha)=f(0)+f(\alpha)$$
　　故
$$f(0)=0$$
　　从而
$$f(\alpha)+f(-\alpha)=f(\alpha-\alpha)=f(0)=0$$
　　这就得到了
$$f(-\alpha)=-f(\alpha)$$
　　用$\frac{m}{n}\alpha$取代其中的$\alpha$，得
$$f\left(-\frac{m}{n}\alpha\right)=-\frac{m}{n}f(\alpha)(\forall n,m \in N)$$
　　以上我们证明了$k \in Q$时，$f(k\alpha)=kf(\alpha)$
　　所以
$$Q(V,U)=\hom(V,U)$$