蓝以中上册 线性空间与线性变换 302页 习题三37 解答

castelu

习题三37：
　　设$V$是复数域$C$上的$n$维线性空间，$A \in {\rm End}(V)$。
（1）证明：关于$V$内向量加法及实数与$V$内向量的数乘，$V$成为实数域$R$上的线性空间，维数为$2n$，记做$V_R$。
　　此时$A$也是$V_R$上的线性变换；
（2）设$A$在$V$的一组基下的矩阵为$n$阶复方阵$A_C$，$A$在$V_R$的一组基下的矩阵为$2n$阶实方阵$A_R$。
　　证明$\det (A_R)=|\det (A_C)|^2$，这里$|\det (A_C)|$表示复数$\det (A_C)$的模（或称绝对值）。

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解：
（1）设
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　是$V$的一组基
　　对
$$\forall \alpha \in V$$
　　它可以用基线性表出
$$\alpha=\sum\limits_{i=1}^nz_i\epsilon_i(z_i \in C)$$
　　令
$$z_i=x_i+y_ii(x_i,y_i \in R)$$
　　则
$$\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\epsilon_i+\sum\limits_{i=1}^ny_ii\epsilon_i(x_i,y_i \in R)$$
　　所以$V$成为实数域$R$上的线性空间，维数为$2n$
　　其中
$$\epsilon_1,i\epsilon_1,\epsilon_2,i\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n,i\epsilon_n$$
　　是$V$的一组基
　　对
$$\forall \alpha,\beta \in V_R$$
　　分别用基线性表出
$$\alpha=\sum\limits_{i=1}^nz_{1i}\epsilon_i=\sum\limits_{i=1}^nx_{1i}\epsilon_i+\sum\limits_{i=1}^ny_{1i}i\epsilon_i$$
$$\beta=\sum\limits_{i=1}^nz_{2i}\epsilon_i=\sum\limits_{i=1}^nx_{2i}\epsilon_i+\sum\limits_{i=1}^ny_{2i}i\epsilon_i$$
　　有
$$A(\alpha+\beta)=A\left(\sum\limits_{i=1}^nz_{1i}\epsilon_i+\sum\limits_{i=1}^nz_{2i}\epsilon_i\right)=A(\alpha)+A(\beta)$$
　　对任意实数$k$，有
$$A(k\alpha)=A\left(k\sum\limits_{i=1}^nz_{1i}\epsilon_i\right)=kA(\alpha)$$
　　所以$A$也是$V_R$上的线性变换。
（2）设$A_C=A+Bi$，这里$A,B$是$n$阶实方阵。
　　即
$$A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)(A+Bi)$$
　　设
$$A(\epsilon_1,i\epsilon_1,\epsilon_2,i\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n,i\epsilon_n)=(\epsilon_1,i\epsilon_1,\epsilon_2,i\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n,i\epsilon_n)A_R$$
　　此时可取
$$A_R=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{-B}\\
{B}&{A}
\end{array}} \right)$$
　　当$|A| \ne 0$时
$$\begin{eqnarray*}
|\det(A_C)|^2&=&\det(A_C)\overline {\det (A_C)}=|A+Bi||A-Bi|\\
&=&|A|^2|E+A^{-1}Bi||E-A^{-1}Bi|=|A||A+BA^{-1}B|
\end{eqnarray*}$$
　　对$A_R$作分块矩阵初等变换
$$A_R=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{-B}\\
{B}&{A}
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{-B}\\
{0}&{BA^{-1}B+A}
\end{array}} \right)$$
　　根据$Laplace$定理
$$\det (A_R)=|A||A+BA^{-1}B|$$
　　故
$$\det (A_R)=|\det (A_C)|^2$$
　　当$|A|=0$时，以$A(t)=tE+A$取代$A$，当$t$充分大时，$A(t)$可逆
　　重复上述步骤，可以得到
$$\det (A(t)_R)=|\det (A(t)_C)|^2$$
　　上述行列式展开后是关于$t$的多项式，所以它们的常数项相等
　　而常数项可以令$t \to 0$得到
　　故
$$\det (A_R)=|\det (A_C)|^2$$