蓝以中上册 线性空间与线性变换 327页 习题四8 解答

castelu

习题四8：
　　设$\lambda_1,\lambda_2$是线性变换$A$的两个不同特征值，$\xi_1,\xi_2$是分别属于$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量。证明：$\xi_1+\xi_2$不是$A$的特征向量。

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解：
　　因为$A\xi_1=\lambda_1\xi_1$，$A\xi_2=\lambda_2\xi_2$，$\lambda_1 \ne \lambda_2$
　　假设$\xi_1+\xi_2$是线性变换$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量，即
$$A(\xi_1+\xi_2)=\lambda(\xi_1+\xi_2)$$
　　则有
$$\lambda(\xi_1+\xi_2)=\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2$$
　　即
$$(\lambda_1-\lambda)\xi_1+(\lambda_2-\lambda)\xi_2=0$$
　　由于线性变换$A$的属于不同特征值的特征向量线性无关
　　故有
$$\lambda_1-\lambda=0,\lambda_2-\lambda=0$$
　　于是得
$$\lambda_1=\lambda_2$$
　　这与题设矛盾，故$\xi_1+\xi_2$不是$A$的特征向量。