蓝以中上册 线性空间与线性变换 327页 习题四11 解答

castelu

习题四11：
　　给定复数域上的$n$阶循环矩阵
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_1}&{a_2}&{a_3}&{\cdots}&{a_n}\\
{a_n}&{a_1}&{a_2}&{\cdots}&{a_{n-1}}\\
{a_{n-1}}&{a_{n}}&{a_1}&{\cdots}&{a_{n-2}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{a_2}&{a_3}&{a_4}&{\cdots}&{a_1}
\end{array}} \right)$$
　　证明存在复数域上$n$阶可逆矩阵$T$，使对任意上述循环矩阵$A$，$T^{-1}AT$都是对角矩阵。

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解：
　　记$n$阶循环矩阵
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{1}\\
{1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　称为基本循环矩阵，容易验证
$$J^2=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}&{1}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{0}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}
\end{array}} \right),\cdots,J^{n-1}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{1}\\
{1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{1}&{0}
\end{array}} \right),J^n=E$$
　　其中$E$为单位矩阵。显见$J^2,\cdots,J^{n-1},J^n$都是循环矩阵
　　易知$n$阶循环矩阵$A$可由基本循环矩阵$J$的方幂线性表出
　　反之，如果矩阵$A$可由基本循环矩阵$J$的方幂线性表出。那么$A$也一定是循环矩阵
　　事实上$A=f(J)$，此处
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$$
　　这样，$n$阶循环矩阵$A$由一个次数不高于$n-1$的多项式唯一确定。称$f(x)$为$A$的生成多项式
　　基本循环矩阵$J$的特征多项式为
$$|\lambda E-J|=\lambda^n-1$$
　　特征值为$n$次单位根
$$\epsilon_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}(k=0,1,2,\cdots,n-1)$$
　　由于
$$\epsilon_k \ne \epsilon_l(k \ne l)$$
　　所以$J$可对角化
　　$J$相应于特征值$\epsilon_0,\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{n-1}$的特征向量依次为
$$\left\{ \begin{array}{l}
X_0=(1,1,1,\cdots,1)'\\
X_1=(1,\epsilon_1,\epsilon_1^2,\cdots,\epsilon_1^{n-1})'\\
X_2=(1,\epsilon_2,\epsilon_2^2,\cdots,\epsilon_2^{n-1})'\\
\cdots\\
X_{n-1}=(1,\epsilon_{n-1},\epsilon_{n-1}^2,\cdots,\epsilon_{n-1}^{n-1})'
\end{array} \right.$$
　　作矩阵
$$T=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{1}&{1}&{\cdots}&{1}\\
{1}&{\epsilon_1}&{\epsilon_2}&{\cdots}&{\epsilon_{n-1}}\\
{1}&{\epsilon_1^2}&{\epsilon_2^2}&{\cdots}&{\epsilon_{n-1}^2}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{1}&{\epsilon_1^{n-1}}&{\epsilon_2^{n-1}}&{\cdots}&{\epsilon_{n-1}^{n-1}}
\end{array}} \right)$$
　　于是
$$\left\{ \begin{array}{l}
T^{-1}JT={\rm diag}(1,\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{n-1})\\
T^{-1}J^2T={\rm diag}(1,\epsilon_1^2,\epsilon_2^2,\cdots,\epsilon_{n-1}^2)\\
T^{-1}J^3T={\rm diag}(1,\epsilon_1^3,\epsilon_2^3,\cdots,\epsilon_{n-1}^3)\\
\cdots\\
T^{-1}J^{n-1}T={\rm diag}(1,\epsilon_1^{n-1},\epsilon_2^{n-1},\cdots,\epsilon_{n-1}^{n-1})
\end{array} \right.$$
　　所以，复$n$阶可逆矩阵$T$可使基本循环矩阵$J$的方幂同时对角化
　　将$n$阶循环矩阵$A$用$J$的方幂线性表出
$$A=a_0E+a_1J+a_2J^2+\cdots+a_{n-1}J^{n-1}$$
　　因为
$$\begin{eqnarray*}
T^{-1}AT&=&T^{-1}(a_0E+a_1J+a_2J^2+\cdots+a_{n-1}J^{n-1})T\\
&=&a_0T^{-1}ET+a_1T^{-1}JT+a_2T^{-1}J^2T+\cdots+a_{n-1}T^{-1}J^{n-1}T\\
&=&{\rm diag}(f(1),f(\epsilon_1),f(\epsilon_2),\cdots,f(\epsilon_{n-1}))
\end{eqnarray*}$$
　　所以，循环矩阵$A$可对角化
　　此时我们还知道，$A$的全部特征值是
$$f(\epsilon_0),f(\epsilon_1),f(\epsilon_2),\cdots,f(\epsilon_{n-1})$$
$$|A|=f(\epsilon_0)f(\epsilon_1)f(\epsilon_2)\cdots f(\epsilon_{n-1})$$
　　由$A$的任意性，复$n$阶可逆矩阵$T$可使所有$n$阶循环矩阵同时对角化
　　$T$的$n$个列向量
$$X_0,X_1,X_2,\cdots,X_{n-1}$$
　　也是所有$n$阶循环矩阵共同的$n$个线性无关的特征向量。